Fourierreihe

Als Fourierreihe einer Funktion f(x) bezeichnet man deren Entwicklung in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Die Basisfunktionen der Fourierreihe bilden das bekannteste Beispiel für ein orthogonales Funktionensystem.

Darstellungsformen

allgemeine Form (reelle Fourierreihe):

Eine periodische Funktion f (mit Periode T ) läßt sich aproximieren als Summe von Sinus- und Cosinusschwingungen, deren Frequenz ganzzahlige vielfache der Grundfrequenz sind. Die Kreisfrequenz Omega "skaliert" hier den Sinus und Cosinus auf die entsprechende Periode.

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cdot \cos(n\omega t)+b_{n}\cdot \sin(n\omega t))$

Dabei ist

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

$a_{0}$ der Gleichanteil (wechsellose Größe oder auch Anteil der Frequenz $f_{0}=0$)

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cdot cos(n\omega t)\,\mathrm {d} t\quad {\mbox{und}}\quad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cdot sin(n\omega t)\,\mathrm {d} t$

Amplituden-Phasen-Notation:

In der obigen Darstellung wird das Singal mit Hilfe eines Sinusspektrums und eines Cosinusspektrums dargestellt. Da man die additive Überlagerung einer Sinus- und einer Cosinusschwingung auch als phasenverschobene Cosinusschwingung darstellen kann, bietet sich auch folgende Schreibweise an. Hier wird das Signal mit Hilfe eines Phasenspektrums und eines Amplitudenspektrums dargestellt.

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos(n\omega t+\phi _{n}))$

Dabei ist

$A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ und $\phi _{n}=\arctan {\frac {b_{n}}{a_{n}}}$

komplexe Fourierreihe:

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}$

Dabei ist

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} n\omega t}$

Zusammenhang zwischen reellen und komplexen Fourierkoeffizienten:

$c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}$

$c_{n}={\frac {(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})}{2}}{\mbox{ für }}n>0$

$c_{n}={\frac {(a_{-n}+\mathrm {i} b_{-n})}{2}}{\mbox{ für }}n<0$

$a_{0}=2c_{0}$

$a_{n}=c_{n}+c_{-n}$

$b_{n}=\mathrm {i} (c_{n}-c_{-n})$

Beispiele

Dreieckpuls

$f(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}{\begin{bmatrix}{\cos {\omega t}+{\frac {1}{3^{2}}}\cos {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\cos {5\omega t}+\ldots }\end{bmatrix}}$

Sägezahnpuls

$f(t)=-{\frac {2}{\pi }}{\begin{bmatrix}{\sin {\omega t}+{\frac {1}{2}}\sin {2\omega t}+{\frac {1}{3}}\sin {3\omega t}+\ldots }\end{bmatrix}}$

Gibbssches Phänomen

Datei:Gibbsches Phänomen.jpg

Gibbssches Phänomen

Das Gibbssche Phänomen beschreibt das Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen. Entwickelt man eine Fourierreihe aus einer unstetigen Funktion, so ergeben sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich auch dann nicht verringern, wenn man versucht die Funktion noch besser zu approximieren.

Die Höhe des ersten Überschwingers nähert sich

${{2\cdot h\cdot 0,281} \over {\pi }}=0,1789\cdot h$

Das sind ungefähr 18 % der Sprunghöhe. Der Effekt wurde nach seinem Entdecker dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs benannt.

Weblinks

• Falstad Fourier Series Java Applet Mit diesem Java-Applet kann man sich zeigen lassen, wie Fourier-Reihen entwickelt werden.

Siehe auch: Diskrete Fourier-Transformation