Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz (lat. commutare - vertauschen), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik, die besagt, dass die Argumente einer Operation vertauscht werden können, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ.

Ein bekanntes Beispiel ist die Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Addition oder Multiplikation reeller Zahlen:

$a\,+\,b\,=\,b\,+\,a$

$a\cdot b=b\cdot a$

a und b sind in diesem Fall die Argumente der Operation "Addition" bzw. "Multiplikation". Ebenfalls kommutativ sind z.B. das Skalarprodukt, allerdings nur in einem reellen Vektorraum, die Vereinigung und der Schnitt in der Mengenlehre oder die Addition von Matrizen.

Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen ist dagegen nicht kommutativ. Weitere Beispiele hierfür sind das Kreuzprodukt, die Bildung einer Teilmenge und die Matrizenmultiplikation.

Das Kommutativgesetz ist nicht auf algebraische Operationen beschränkt, sondern ist z.B. auch für logische Aussagen anwendbar:

$a\vee b=b\vee a$

Allgemeiner heißt eine zweistellige Funktion f kommutativ, wenn

$f\left(x,y\right)=f\left(y,x\right)$

für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Gruppentheorie.

Siehe auch: Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Flexibilitätsgesetz