Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Einleitung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarz-Ungleichung oder Cauchy-Bunyakovski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen verwendet wird, z.B. Lineare Algebra (Vektoren), Analysis (unendliche Reihe)n und Integration von Produkten. Die Ungleichung sagt aus: Wenn x und y Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums sind, dann gilt:

\left|\langle x,y\rangle \right|^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

Beide Seiten sind genau dann gleich, wenn x und y linear abhängig sind.

Eine wichtige Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das Vektor-Produkt eine stetige Funktion ist.

Auf euklidische Räume Rⁿ angewandt, erhält man:

\left(\sum x_{i}\cdot y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum x_{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum y_{i}^{2}\right)

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

\left|\int f\cdot g\,dx\right|^{2}\leq \left(\int \left|f\right|^{2}\,dx\right)\cdot \left(\int \left|g\right|^{2}\,dx\right)

Die beiden letzten Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy und Herrmann Amandus Schwarz.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann man die Heisenbergsche Unschärferelation herleiten.

Beweis

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für $i=1,\dots ,n$ die Werte $\xi _{i}:=|x_{i}|/{\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}$ und $\eta _{i}:=|y_{i}|/{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$ , so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

\sum _{i}\xi _{i}\eta _{i}=\sum _{i}{\sqrt {\xi _{i}^{2}\eta _{i}^{2}}}\leq \sum _{i}(\xi _{i}^{2}/2+\eta _{i}^{2}/2)=1

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man $S={\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}$ und $T={\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$ sowie $\xi _{i}={\frac {x_{i}}{S}}$ und $\xi _{n+i}={\frac {y_{i}}{T}}$ so gilt

2=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{2}}{S^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {y_{i}^{2}}{T^{2}}}=\sum _{i=1}^{2n}\xi _{i}^{2}.

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun

\sum _{i=1}^{2n}\xi _{i}^{2}\geq \xi _{1}\xi _{n+1}+\xi _{2}\xi _{n+2}\dots \xi _{n}\xi _{2n}+\xi _{n+1}\xi _{1}+\xi _{n+2}\xi _{2}+\dots \xi _{2n}\xi _{n}.

Zusammengefasst erhält man also

2\geq {\frac {2\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{ST}}

wobei dieses Ergenis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung entspricht.

Beweis über Skalarprodukt

Ein sehr simpler, aber sehr allgemeiner Beweis ergibt sich durch die Interpretation als Skalarprodukt: Der Fall $y=0$ ist einfach zubeweisen, es sei also $\langle y,y\rangle \neq 0$ . Für jedes $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt