Diskussion:Definitheit

Definitheit hat zuallererst etwas mit Skalarprodukten zu tun, die Beziehung zu Eigenwerten ist sekundär und ist aus Ko-/Kontravarianzgründen irreführend. Vgl. auch Skalarprodukt und Prähilbertraum.--Gunther 13:48, 20. Mär 2005 (CET)

Habe dazu mal was geschrieben - ist das ungefähr das, was du meintest? --Glotzfrosch 22:32, 31. Mär 2005 (CEST)

Ja, ich meinte aber vor allem, dass man zuerst erklärt, was Definitheit für eine Bilinearform bedeutet, und erst später als "Eigenschaft" dieses Begriffes die Beziehung zu den Eigenwerten nennt. Außerdem sollte man die Seite noch an den o.a. Stellen verlinken bzw. sich überlegen, inwieweit man dort Definitionsteile streichen kann. Man kann übrigens überall voraussetzen, dass die Matrix symmetrisch ist, zumindest ist die Behauptung der aktuellen Fassung, dass das Hurwitz-Kriterium auch für nicht symmetrische Matrizen etwas über die Eigenwerte aussagt, falsch.--Gunther 22:48, 31. Mär 2005 (CEST)

Okay, nächster Versuch! Allerdings habe ich jetzt das Gefühl, dass der Artikel etwas unübersichtlich ist... ich weiß aber gerade nicht, wie ich's besser machen könnte. --Glotzfrosch 20:42, 1. Apr 2005 (CEST)

Habe mich mal um eine Gliederung bemüht. Einen guten Einleitungssatz sollten wir noch finden...--Gunther 00:45, 3. Apr 2005 (CEST)

Gaußsches Eliminationsverfahren als Definitheitskriterium?

Diesen Ansatz habe ich sonst nirgends gesehen, finde Ihn aber sinnvoll im Zusammenhang einer Minimasuche mittels Newtonverfahren. Allerdings finde ich den Teil mit Diagonalstrategie mit n positiven Pivotelementen verwirrend, vielleicht wäre eine etwas ausführlichere Erläuterung schön oder vielleicht einen passender Link? Auf welcher Grundlage lässt sich diese Aussage denn treffen? --Odysseus76 15:32, 21. Jan 2006 (CET)

Definitheit von Matrizen

In der aktuellen Version steht:

Da sich jede Bilinearform (bzw. Sesquilinearform) auf einem endlichdimensionalen Vektorraum durch eine quadratische Matrix beschreiben lässt, ...

Stimmt das wirklich so formuliert? ...jede Bilinearform ... durch eine quadratische Matrix... Nach meinem bisherigen Verständnis (bin aber noch nicht völlig durchgestiegen ;) sollte sich die Dimension der Matrix aus der Dimension der beiden beteiligten Vektorräume bilden. ( $\langle v,w\rangle \mapsto v^{T}Aw$ ) Wenn von "jeder Bilinearform" die Rede ist, dann ist die Dimension der Matrix nicht einschränkbar. Positiv bzw. negativ definite Matrizen, um die es dann eigentlich geht, müssten allerdings symmetrisch (nicht nur quadratisch) sein, da die Definitheit einer Bilinearform auch ihre Symmetrie impliziert - und damit auch die Symmetrie der zugehörigen Matrix.

Außerdem könnte für Laien (wie mich) an dieser Stelle auch ein Link auf den folgenden Abschnitt im Matrix-Artikel hilfreich sein: Eigenschaften von Matrizen bzgl. ihrer Linearformen --(Tobi)134.109.148.27 17:17, 19. Mär 2006 (CET)

Bei Bilinearformen ist nur ein Vektorraum beteiligt, daher ist die darstellende Matrix quadratisch. Ein Beispiel für eine positiv definite Bilinearform, die nicht symmetrisch ist, ist die durch $A=\left({\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}}\right)$ beschriebene auf dem R². Den Link darfst du gerne einfügen, wenn du ihn für hilfreich hältst. --Glotzfrosch 22:34, 19. Mär 2006 (CET)

$A=\left({\begin{matrix}1&1/2\\1/2&1\end{matrix}}\right)$ eine äquivalente bilinearform zu A--172.176.108.26 22:33, 2. Okt 2006 (CEST)

symmetrie

ist in "Eine symmetrische Bilinearform [...]" das "symmetrische" nicht verzichtbar? -- 141.3.74.114 18:03, 9. Aug 2006 (CEST)

Nein, ist es nicht. Ein Gegenbeispiel ist die Matrix [1, -1; 2, -1]. --Glotzfrosch 19:18, 9. Aug 2006 (CEST)

aeh, meinst du mit "nein, ist es nicht", dass es nicht nicht verzichtbar, also verzichtbar sei?

denn nur dann waere das ein gegenbeispiel. die matrix ist positiv definit, nicht symmetrisch und man koennte damit eine bilinearform definieren, oder nicht? -- 141.3.74.114 14:29, 10. Aug 2006 (CEST)

In dem Teil, den du verändert hattest (Hauptminorenkriterium) ist die Bedingung "symmetrisch" nicht verzichtbar. Die angegebene Matrix belegt das, denn sie erfüllt das Hauptminorenkriterium (zweimal +1), ist aber nicht positiv definit ([0,1]*A*[0,1]' = -1 < 0). Das Hauptminorenkriterium ist nicht anwendbar, weil die Matrix nicht symmetrisch ist. --Glotzfrosch 11:04, 11. Aug 2006 (CEST)

oops. *staun* -- 141.3.74.114 16:52, 11. Aug 2006 (CEST)

so, ich nenne als quelle die freie, zuverlaessige quelle http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html und aendere den artikel entsprechend ab. -- 141.3.74.114 14:48, 10. Aug 2006 (CEST)

Normalerweise ist Wolfram's Mathworld zuverlässig, aber hier liegt sie entweder daneben, oder wir verstehen sie nicht richtig. Ich habe ja wohl ein Gegenbeispiel angegeben. --Glotzfrosch 11:04, 11. Aug 2006 (CEST)

ja, hast du. und fuer mich ist damit soeben eine welt zusammengebrochen. ich werde mich da bei gelegenheit noch mal schlau machen. -- 141.3.74.114 16:55, 11. Aug 2006 (CEST)

gudn tach. ich war die ip. eine google-recherche hat ergeben, dass erstaunlich viele leute (so wie ich) das sog. hauptminoren- oder sylvester-kriterium, das eigentlich fuer hermitesche matrizen gilt, auch auf beliebige nicht-hermitesche matrizen uebertragen (auch wolfram: http://mathworld.wolfram.com/SylvestersCriterion.html). allerdings geben die nie einen beweis dafuer an und so ein beweis kann ja auch gar nicht existieren, wie Glotzfrosch gezeigt hat. ich denke, diese konfusion ist grund genug, dass wir das explizit im artikel erwaehnen, oder? -- seth 12:07, 12. Aug 2006 (CEST)

hurwitz-kriterium

das hauptminorenkriterium, was oft auf sylvester-kriterium genannt wird, wird manchmal auch als hurwitz-kriterium bezeichnet. ist diese letzte bezeichnung ueberhaupt richtig? das hurwitz-kriterium kann man z.b. auf Hurwitz-Kriterium#Hurwitz-Kriterium nachlesen oder in dem dort weiter unten verlinkten original-paper. die matrizen, auf die dort ein hauptminorenkriterium angewendet wird, haben eine ganz bestimmte gestalt. insofern sollte man das allgemeine hauptminorenkriterium nicht als hurwitz-kriterium bezeichnen. liege ich da falsch? -- seth 12:07, 12. Aug 2006 (CEST)

Algemeinere Definition der Definitheit (sic!)

(positive)Definitheit wird eigentlich viel allgemeiner Definiert: f(x)>0 für alle x außer x=0 Zum Beispiel: f(x1,x2)=x1^4+abs(x2) ist positiv definit. f(x)=cos(x)-1 ist negativ semidefinit

Bei Quadratischen Formen(bilinearformen) sind die Eigenwerte entscheidend. x Wenn alle Eigenwerte von A >(≥) 0 positiv sind ist die x' * A * x (semi) definit negativ analog, aber wenn mindestens je ein Eigenwert größer Null und einer kleiner 0 ist ist die Matrix indefinit.

Symmetrie spielt insofern (k)eine Rolle da man jede quadratische Matrix in einen symmetrischen und einen Schiefsymmetrischen Teil spalten kann. A= (1/2A+1/2A) + (1/2A'-1/2A')=(1/2A+1/2A')+(1/2A-1/2A') M=(1/2A+1/2A') ist symmetrisch. M=M' S=(1/2A-1/2A') ist schiefsymmetrisch S=-S'. es gilt x'*(M+S)*x=x'*M*x+x'*S*x (linearität!) nur der symmetrische Teil spielt in einer quadratischen Form eine Rolle ( der schiefsymmetrische Teil hebt sich in einer quadratischen Form auf(beweis durch beispiel ;-) )

[' bedeutet transponiert]

(Wenn ich LATex könnte gäbe es hier noch schönere Beispiele:)

Matlab A=[1,0,0;0,-1,0;0,0,1] ist symmetrisch aber weder positiv noch negativ definit. B=[0,a,b;-a,0,c;-b,-c,0] ist eine allgemeine schiefsymmetrische 3x3 Matrix mit x=(x;y;z) geht aus x'*B*x hervor: (-ay-bz,ax-cz,bx+cy)*(x;y;z)=-ayx-bzx+axy-cyz+bxz+cyz=0 -- Alex 172.176.108.26 22:24, 2. Okt 2006 (CEST)

Ich stelle gerade fest das auf der oben-genannten Mathworld-Seite im Prinzip das selbe steht, aber es ist für einen "Deutsch-Mathematiker" wirklich nicht einfach zu verstehen --172.176.108.26 22:30, 2. Okt 2006 (CEST)

Definitheitskriterium: Hauptminoren

es steht: "A ist also genau dann negativ definit, falls die Hauptminoren alternieren..."

sollte es nicht besser heissen: "A ist also genau dann negativ definit, falls die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren"?

Allerdings. So wie es jetzt drinsteht "Entsprechend ist A negativ definit, falls alle Hauptminoren von − A positiv sind." ist es einfach nur falsch. (nicht signierter Beitrag von Fraupost (Diskussion | Beiträge) 2007-12-05T15:57:32)

Nein, falsch ist es nicht. Denn $A$ ist genau dann negativ definit, wenn $-A$ positiv definit ist. --Digamma 21:06, 5. Dez. 2007 (CET)

Gibt es denn einen Beweis dafür? Ich könnte schwören, daß ich erst vor ein paar Tagen damit baden gegangen bin und nur das Kriterium mit den alterniereden Vorzeichen der Haupminoren zuverlässige Ergebnisse gebracht hat. Ich schaue nochmal, ob ich das finde, denn das müßte dann ja als Gegenbeispiel herhalten. Oder aber, wenn ein Beweis existiert, habe ich mich verrechnet. :-/

hallo Fraupost. 1. du hast die ursprungsfrage nicht richtig verstanden. 2. wenn es falsch sein sollte, kannst du sicher ein gegenbeispiel angeben, oder? beachte dabei z.b. den artikel determinante. ;-) -- seth 10:48, 6. Dez. 2007 (CET)

Standardskalarprodukt definit oder semidefinit?

Unter "Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen" wird die positive Definitheit mit > 0 und die positive Semidefinitheit mit >= 0 angegeben. Darunter wird das Standardskalarprodukt als Beispiel für positive Definitheit aufgeführt, das passt aber nicht zur obigen Definition, da das Skalarprodukt auch = 0 sein kann. Ich verweise hierzu auf den Artikel zum Skalarprodukt, der positive Definitheit anders als dieser Artikel definiert, nämlich als >= 0 und bitte jemanden der fachkundiger ist als ich einen oder beide Artikel zu berichtigen / vereinheitlichen.--89.12.4.159 17:15, 21. Feb. 2007 (CET)

Das Standardskalarprodukt ist positiv definit. Das Produkt eines Vektors mit sich selbst ergibt immer das Quadrat seiner Länge, also eine positive Zahl (es sei denn, es handelt sich um den Nullvektor, was aber in der Definition ausgeschlossen ist). Dass das Skalarprodukt von zwei verschiedenen Vektoren gleich Null sein kann (nämlich immer dann, wenn die beiden Vektoren orthogonal sind), hat damit nichts zu tun. --Digamma 11:51, 11. Mär. 2007 (CET)

Im Artikel Skalarprodukt steht: $\langle x,x\rangle \geq 0$, und $\langle x,x\rangle =0$ nur für $x=0$.

Das ist dasselbe wie hier: $\langle v,v\rangle >0$ ... für alle $v\in V,v\not =0$.

Für Vektoren ungleich Null wird ">0" gefordert, für den Nullvektor gilt "=0". --Digamma 12:26, 11. Mär. 2007 (CET)

Ist das Kriterium für allgemeine Matrizen nur hinreichend oder auch notwendig?

Gibt es nicht-symmetrische positiv definite Matrizen, deren symmetrischer Anteil nicht pos. definit ist? Ein Gegenbeispiel oder zumindest eine Warnung wäre hier ggf. sinnvoll.