Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes Beweissystem für die Menge der wahren arithmetischen Formeln unvollständig ist (sofern man voraussetzt, dass die Arithmetik widerspruchsfrei ist - was, wie Gödel auch zeigt, nicht mit Mitteln der Theorie alleine bewiesen werden kann, was heißt:
In jeder Theorie, welche mindestens so maechtig wie die Theorie der natuerlichen Zahlen (Peano-Arithmetik) ist, bleiben wahre (und falsche) arithmetische Formeln übrig, die nicht beweisbar (widerlegbar) sind.
Damit eine Theorie (in der Praedikatenlogik erster Stufe, PL1) die Vorraussetzungen fuer die Unvollstaendigkeit erfuellt, muss gelten:
- Zu jeder durch einen Ausdruck G(x) beschriebenen Menge ist das Komplement beschreibbar
- Zu jeder durch einen Ausdruck G(x) beschriebenen Menge M ist die Menge M*={n|d(x)∈M} beschreibbar; Dabei ist d(x) die Diagonalisierung von x.
- Die Menge der beweisbaren Ausdruecke der Theorie ist durch einen Ausdruck der Form G(x) beschreibbar.
Durch diesen erstaunlichen Satz ist der Mathematik eine prinzipielle Grenze gesetzt: Nicht jeder wahre mathematische Satz kann aus den wie auch immer gewählten Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (z.B. Arithmetik, Geometrie, Algebra etc.) abgeleitet werden.