Yang-Mills-Theorie

Die Yang-Mills-Theorie (nach Chen Ning Yang und Robert L. Mills) ist eine sogenannte nichtabelsche Eichtheorie, die zur Beschreibung der starken und schwachen Wechselwirkung herangezogen wird. Hingegen ist die Elektrodynamik ein Beispiel einer abelschen Eichtheorie.

Dieser Artikel beschreibt vorwiegend die mathematischen Aspekte des Phänomens, obwohl auch die Gesichtspunkte der Physik gebührende Beachtung finden

Die Yang-Mills-Theorie geht von der Yang-Mills-Wirkung $\,S_{\mathrm {YM} }$ für die Eichbosonen aus:

$\mathbf {S} _{\mathrm {YM} }={\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} \left[*F\wedge F\right]$

Die positive Größe g bedeutet in der Physik die Wechselwirkungskonstante.

Wendet man jetzt das Prinzip der kleinsten Wirkung auf die durch $\mathbf {S} _{\mathrm {YM} }$ repräsentierten Eichbosonenfelder an, so erhält man als zugehörige Euler-Lagrange-Gleichungen die Yang-Mills-Gleichungen:

${\mathcal {D}}F\,:=\mathrm {d} F+g\,A\wedge F=0$

Hierbei wurde die mathematische Sprache der Differentialformen verwendet, die eine kompakte Notierung erlaubt. Die Größe $\,F$ heißt Yang-Mills-Feldstärke. Die Größe $\,*F$ ist die zu $F$ duale Yang-Mills-Feldstärke. Die Yang-Mills-Feldstärke ist durch die sogenannte zweite Maurer-Cartan-Strukturgleichung definiert, die einen Zusammenhang $\,A$ (genauer gesagt dessen lokale Darstellung) eines Hauptfaserbündels (in der Physik Eichpotential bzw. Eichbosonfeld genannt) mit der Krümmung $\,F$ desselben (in der Physik Feldstärke bzw. Feldstärketensor genannt) in Verbindung bringt:

$F\,:=\mathrm {d} A+A\wedge A$

Dabei stellt $\mathrm {d} A$ die äußere Ableitung und "$A\wedge A$" das äußere Produkt von Differentialformen dar (das hier zwischen den A nicht verschwindet, da die Liealgebra-Komponenten von A im Allgemeinen nicht vertauschen). Weiterhin ist $\,A$ eine liealgebra-wertige 1-Form über dem Hauptfaserbündel und $\,F$ eine liealgebra-wertige 2-Form über diesem Hauptfaserbündel. Die Spur in der Yang-Mills-Wirkung (Tr für englisch trace in der oben angegebenen Formel) wird dabei über die Matrizen der Liealgebra-Generatoren ausgeführt.

In der Physik betrachtet man meist eine kompakte, halbeinfache Liegruppe $G$, etwa $SU(N)$ oder $SO(N)$, deren hermitesche Generatoren folgende Kommutationsrelation erfüllen:

$\left[T_{\alpha },T_{\beta }\right]=f_{\alpha \beta }^{\gamma }\,T_{\gamma }$

Die $f_{\alpha \beta }^{\gamma }$ heißen Strukturkonstanten der Liegruppe. Ein Element $U$ von $G$ in der Nähe des Einselements wird dann durch die Gleichung

$U=e^{i\theta ^{\alpha }\,T_{\alpha }}$

dargestellt.

Die Wellenfunktion (Dirac-Feld) $\psi$ eines (mit Yang-Mills-Ladungen) geladenen Teilchens transformiert unter $U\in G$ wie folgt

$\psi \to U\,\psi$ bzw. ${\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}\,U^{\dagger }$

Die Lagrange-Funktion, aus der über die Euler-Lagrangegleichungen die Bewegungsgleichungen des Teilchens folgen, sieht üblicherweise wie folgt aus:

${\mathcal {L}}={\overline {\psi }}\,\left[i\,\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }-ig\,A_{\mu }\right)+m\right]\psi$

wobei $g$ die oben angegebene Kopplungskonstante ist. Diese Lagrange-Funktion beschreibt die Kopplung des Feldes $A$ an die Materie-Felder $\psi$. Der Ausdruck $\partial _{\mu }-ig\,A_{\mu }=:\nabla _{\mu }$ wird kovariante Ableitung oder minimale Kopplung genannt. Die Variablen $A_{\mu }$ bilden die Vierervektor-Komponenten der zusätzlich noch liealgebra-wertigen 1-Form $A$.

Wenn die Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung der starken Wechselwirkung eingesetzt wird (eine $\,SU(3)$-Eichtheorie, die Quantenchromodynamik), dann bildet $\,A$ das Gluonfeld und die $T_{\alpha }$ stellen die acht Gluonenarten dar. ($\,SU(3)$ hat 8 Generatoren, üblicherweise werden die sog. Gell-Mann-Matrizen in einer Darstellung der $SU(3)$ verwendet.).

Die mathematische Behandlung der Yang-Mills-Theorie wurde vom Clay Mathematics Institute in die Liste der Millennium-Probleme aufgenommen.