Newton-Cotes-Formeln

Eine Newton-Cotes-Formel ist eine mathematische Formel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde, die zu integrierende Funktion durch ein Polynom zu interpolieren und dieses als Näherung exakt zu integrieren. Die entsprechenden Formeln sind nach den englischen Mathematikern Isaac Newton und Roger Cotes benannt.

Newton-Cotes-Formel für $n=2$

Herleitung

Zur numerischen Integration mit Hilfe einer Newton-Cotes-Formel wird das Intervall $[a,b]$ in $n$ gleich große Teilintervalle unterteilt. Dadurch erhält man $n+1$ Stützstellen mit

$a\leq x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}\leq b$

Gilt dabei $a=x_{0}$ und $b=x_{n}$, so spricht man von einer abgeschlossenen Newton-Cotes-Formel, andernfalls von einer offenen Newton-Cotes-Formel. Zur Herleitung der Newton-Cotes-Formeln nehmen wir ein Interpolationspolynom $p(f)_{n+1}$ von der zu integrierenden Funktion $f$. Für dieses gilt

$p(f)_{n+1}(t)=\sum _{i=0}^{n}f(t_{i})L_{in}(t)$

mit $L_{in}$ den Lagrange-Polynonen. Daraus folgt

$\int _{a}^{b}p(f)_{n+1}(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}f(t_{i}){\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(t)dt$

Definition

Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}p(f)_{n+1}(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})$

mit den Gewichten

$w_{i}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(t)dt$

Dabei bezeichnet $L_{in}(x)$ das $i$-te Lagrange-Polynom.

$L_{in}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n})}}$

Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln

Bei den abgeschlossenen Formeln sind die Gewichte symmetrisch, das heißt $w_{n-i}=w_{i}$. Die Summe der Gewichte ergibt immer eins. Die folgende Tabelle listet einige Spezialfälle.

Grad $n$	Name	Gewichte $w_{i}$	Fehlerschätzer
1	Trapezregel	${\frac {1}{2}}\quad {\frac {1}{2}}$	${\frac {h^{3}}{12}}f''(\tau )$
2	Simpson-Regel / Keplersche Fassregel	${\frac {1}{6}}\quad {\frac {4}{6}}\quad {\frac {1}{6}}$	${\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\tau )$
3	3/8 - Regel oder auch Pulcherrima	${\frac {1}{8}}\quad {\frac {3}{8}}\quad {\frac {3}{8}}\quad {\frac {1}{8}}$	${\frac {3h^{5}}{80}}f^{(4)}(\tau )$
4	Milne-Regel	${\frac {7}{90}}\quad {\frac {32}{90}}\quad {\frac {12}{90}}\quad {\frac {32}{90}}\quad {\frac {7}{90}}$	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \frac{8h^7}{945} f^{(6)}(\tau)}
5		${\frac {19}{288}}\quad {\frac {75}{288}}\quad {\frac {50}{288}}\quad {\frac {50}{288}}\quad {\frac {75}{288}}\quad {\frac {19}{288}}$
6	Weddle-Regel	${\frac {41}{840}}\quad {\frac {216}{840}}\quad {\frac {27}{840}}\quad {\frac {272}{840}}\quad {\frac {27}{840}}\quad {\frac {216}{840}}\quad {\frac {41}{840}}$

Für große $n$ sind diese Formeln aus praktischer Sicht unbrauchbar, da viele Funktionswerte ausgewertet werden müssen. Dabei kommt es vermehrt zu Rundungsfehlern und Auslöschung. Ab $n=8$ treten in etlichen Formeln sogar negative Gewichte auf.

Offene Newton-Cotes-Formeln

Grad $n$	Name	Stützstellen $x_{i}$	Gewichte $w_{i}$
0	Mittelpunktsregel	${\frac {1}{2}}$	1
1		${\frac {1}{4}}\quad {\frac {3}{4}}$	${\frac {1}{2}}\quad {\frac {1}{2}}$
2		${\frac {1}{6}}\quad {\frac {1}{2}}\quad {\frac {5}{6}}$	${\frac {3}{8}}\quad {\frac {2}{8}}\quad {\frac {3}{8}}$
3		${\frac {1}{8}}\quad {\frac {3}{8}}\quad {\frac {5}{8}}\quad {\frac {7}{8}}$	${\frac {13}{48}}\quad {\frac {11}{48}}\quad {\frac {11}{48}}\quad {\frac {13}{48}}$