Jordan-Algebra

In der Mathematik heißt eine kommutative Algebra A eine Jordan-Algebra, wenn für alle x,y aus A gilt $x(x^{2}y)=x^{2}(xy)$.

Eine alternative Definition ist $x^{-1}(xy)=x(x^{-1}y)$

(x,y aus A, x invertierbar).

Beispiele

Eine Matrixalgebra M mit dem symmetrischen Produkt $x\bullet y=\{x,y\}={\frac {1}{2}}(xy+yx)$ ist eine Jordan-Algebra.

Die exzeptionelle Jordan-Algebra M(3,8) (auch als $E_{3}$ bezeichnet) ist durch Matrizen des folgenden Typs

${\begin{pmatrix}a&X&Y\\{\bar {X}}&b&Z\\{\bar {Y}}&{\bar {Z}}&c\end{pmatrix}}$ gegeben. Hierbei sind a,b,c reelle Zahlen und X,Y,Z Oktonionen, die Multiplikation ist wie im ersten Beispiel.

Literatur

Tonny A. Springer, Jordan Algebras and Algebraic Groups, Springer-Verlag Heidelberg 1998