Drehmatrix

Eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, die eine Drehung im euklidischen Raum beschreibt.

Die Drehung kann entweder ein Objekt (eine Figur, einen Körper) bezüglich einem festgehaltenen Koordinatensystem oder das Koordinatensystem selbst bewegen.

Drehmatrix der Ebene R²

In der euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ wird die Drehung um den Ursprung um den Winkel $\alpha$ entgegen dem Uhrzeigersinn realisiert durch die Matrix:

Aktive Drehmatrix (Punkt wird gedreht)

$R={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$.

Passive Drehmatrix (Koordinatensystem wird gedreht)

$R^{-1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$.

Die aktive Drehung selbst wird durch die Multiplikation eines Vektors mit der Matrix $R$ durchgeführt:

${\vec {p}}'=R\cdot {\vec {p}}$.

Bei der passiven Drehung findet man die Koordinaten des Vektors im gedrehten Koordinatensystem durch Multiplikation mit der Matrix $R^{-1}$

${\vec {p}}'=R^{-1}\cdot {\vec {p}}$.

(Hinweis: Positive Winkel werden in der Mathematik üblicherweise entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Möchte man mit Winkeln arbeiten, die bei Drehung mit dem Uhrzeigersinn positiv sind, so müssen die Winkel negativ eingegeben werden.)

Drehmatrizen des Raumes R³

Die elementaren Drehungen im $\mathbb {R} ^{3}$ sind Drehungen um die üblichen kartesischen Koordinatenachsen. Folgende Matrizen drehen einen Punkt (bzw. Vektor) um den Winkel $\alpha$.

Bitte beachten: Diese Matrizen drehen nicht die Koordinatenachsen - wie z.B. in der Physik üblich. Um solche Drehmatrizen zu erhalten, müssen bei den untenstehenden einfach die Vorzeichen aller Sinus-Einträge vertauscht werden.

• Drehung eines Punkts mit x-Achse als Drehachse:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$,

• Drehung eines Punkts mit y-Achse als Drehachse:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix}}$,

• Drehung eines Punkts mit z-Achse als Drehachse:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$,

Diese Matrizen gelten sowohl für Rechts- als auch für Linkssysteme. Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht. Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht. In Rechtssystemen kann auch eine rechte-Hand-Regel angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an.

Sehr häufig entstehen Unklarheiten und Missverständnisse bei der Wahl der Vorzeichen der Sinus-Einträge der Drehmatrizen. Die hier angegebenen Definitionen sind aber eindeutig und erzwingen eine Vorzeichenwahl die bspw. von derjenigen in Mathworld abweicht. Für die gesamte Seite werden alle Drehmatrizen für Drehungen von Punkten (und nicht für Drehungen des Koordinatensystems) angegeben. Wikipedia-Nutzer, die denken dass die angegebenen Matrizen falsch seien, sollten keinesfalls einfach diese Seite editieren, sondern sich zuerst eingehend mit dem Thema beschäftigen. Auch ein kurzer Vergleich mit der folgenden allgemeinen Drehung um eine beliebige Achse sollte Aufschluss über die Vorzeichenwahl geben:

• Drehung mit beliebigem Einheitsvektor v=(v₁,v₂,v₃)^T als Drehachse:

${\begin{pmatrix}\cos \alpha +v_{1}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&v_{1}v_{2}\left(1-\cos \alpha \right)-v_{3}\sin \alpha &v_{1}v_{3}\left(1-\cos \alpha \right)+v_{2}\sin \alpha \\v_{2}v_{1}\left(1-\cos \alpha \right)+v_{3}\sin \alpha &\cos \alpha +v_{2}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)&v_{2}v_{3}\left(1-\cos \alpha \right)-v_{1}\sin \alpha \\v_{3}v_{1}\left(1-\cos \alpha \right)-v_{2}\sin \alpha &v_{3}v_{2}\left(1-\cos \alpha \right)+v_{1}\sin \alpha &\cos \alpha +v_{3}^{2}\left(1-\cos \alpha \right)\end{pmatrix}}$.

Diese beliebige Drehung lässt sich auch über drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den Eulerschen Winkeln um bestimmte Koordinatenachsen erzielen, so dass sich diese Matrix auch mit diesen Winkeln formulieren lässt.

Allgemeine Definition

Eine $n\times n$-Matrix R mit reellen Komponenten heißt Drehmatrix, wenn sie

a) die Winkel zwischen Vektoren erhält (ausgedrückt durch das Skalarprodukt), wenn also für alle Vektoren x und y des $\mathbb {R} ^{n}$ gilt:

$\langle Rx,Ry\rangle =\langle x,y\rangle$

und

b) orientierungserhaltend ist.

Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante +1. Die Menge aller Drehmatrizen eines Raumes bildet die spezielle orthogonale Gruppe.

Die Drehmatrix ist im allgemeinen definiert als:

$R={\vec {n}}\cdot {\vec {n}}+\cos \phi [{\vec {I}}-{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}]+\sin \phi {\vec {J}}$

${\vec {I}}={\vec {e}}_{\alpha }{\vec {e}}_{\alpha }$ Einheitsmatrix

${\vec {J}}=\sum \limits _{\alpha =1}^{3}({\vec {n}}\times {\vec {e_{\alpha }}}){\vec {e_{\alpha }}}$ Erzeugende einer infinitesimalen Drehung

und die Elemente werden definiert als:

${R}_{\alpha \beta }=n_{\alpha }n_{\beta }+\cos \phi ({\delta }_{\alpha \beta }+n_{\alpha }n_{\beta })-\sin \phi {\varepsilon }_{\alpha \beta \gamma }n_{\gamma }$

Eigenschaften

Weitere Eigenschaften von $R\in \mathbb {R} ^{n\times n}$:

• $\det R=1$ (Determinante)
• $R^{T}=R^{-1}$ (R transponiert = R invertiert)
• $R^{T}R=RR^{T}={Id_{n}}$ (orthogonal)
• Die Ausrichtung des Koordinatensystems (Rechts- oder Linkssystem) wird beibehalten.
• Die Drehachse ${\vec {v}}$ ist die Lösung zu:

$(R-I){\vec {v}}={\vec {0}}$.

Da $(R-I)$ singulär ist, ist die Berechnung der Drehachse über eine Eigenwertzerlegung durchzuführen. Die Drehachse ${\vec {v}}$ ist Eigenvektor von $R$ mit Eigenwert $1$.

• Der Drehwinkel $\alpha$ ergibt sich über das Skalarprodukt:

$\quad \langle {\vec {w}},R{\vec {w}}\rangle =\|{\vec {w}}\|\|R{\vec {w}}\|\cos \alpha$,

mit ${\vec {w}}$ orthogonal zur Drehachse ${\vec {v}}$

oder aus der Spur der Drehmatrix (für den Fall $R\in O(3)$)

$\operatorname {Tr} (R)=1+2\cos \alpha$

(siehe auch Formel für die Matrix einer Drehung um eine allgemeine Achse oben).

Siehe auch

• Quaternion
• Roll-Pitch-Yaw-Winkel
• Homogene Matrizen zur Koordinatentransformation