Messbare Funktion

Eine messbare Funktion ist in der Mathematik definiert als eine Funktion $f$ aus einem Messraum $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ in einen anderen Messraum $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$, die der Bedingung genügt, dass $\forall A\in {\mathcal {A}}_{2}:\ f^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{1}$, und somit das Urbild jeder messbaren Teilmenge aus $X_{2}$ eine messbare Teilmenge von $X_{1}$ ist. Eine solche Funktion wird auch als ${\mathcal {A}}_{1}$-${\mathcal {A}}_{2}$messbar bezeichnet.

Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit ein Maß zugeordnet werden kann.

Eigenschaften

1. Die Verknüpfung messbarer Funktionen ist wieder eine messbare Funktion.
2. Ferner sind stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen (ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra) messbar.
3. Jede messbare Funktion in einen separablen, metrischen Raum ist punktweiser Limes von Elementarfunktionen, d.h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild. Diese Eigenschaft, punktweiser Limes von Elementarfunktionen zu sein, wird auch "stark messbar" genannt.
   1. Jede stark messbare Funktion in einen metrischen Raum, ist auch in obigem Sinne messbar. Umgekehrt muss das nicht gelten.
   2. Einige Autoren verwenden die starke Messbarkeit als Definition. Das macht nur dann einen Unterschied, wenn als Wertebereiche auch nicht-separable Räume betrachtet werden (z.B. bei der Definition von verallgemeinerten Integral wie dem Bochner-Integral)

Werden die σ-Algebren ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}$ von den Mengen ${\mathcal {S}}_{1}$ und ${\mathcal {S}}_{2}$ erzeugt; also ${\mathcal {A}}_{i}=\sigma ({\mathcal {S}}_{i})$, dann genügt es die Messbarkeit von $f$ für alle $U\in {\mathcal {S}}_{2}$ zu zeigen.

Für eine Abbildung $f$ von einem Messraum $(X,{\mathcal {A}})$ nach $\mathbb {R}$ gilt somit, dass $f$ genau dann messbar ist, wenn die Urbilder eines der Mengensysteme

• $\{f\leq a\},a\in \mathbb {R}$,
• $\{f<a\},a\in \mathbb {R}$,
• $\{f\geq a\},a\in \mathbb {R}$,
• $\{f>a\},a\in \mathbb {R}$

in ${\mathcal {A}}$ liegen. Dabei ist $\{f\leq a\}$ etc. als Abkürzung für $\{x\in X|f(x)\leq a\}=f^{-1}((-\infty ,a])$ zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn das a nur alle rationalen Zahlen durchläuft.

Siehe auch

• Tabelle mathematischer Symbole