Lp-Raum

In der Mathematik sind $L^{p}$ -Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p-fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Im Fall Banachraum-wertiger Funktionen (wie im Folgenden für allgemeines $E$ dargestellt) bezeichnet man sie auch als Bochner-Lebesgue-Räume. Das p in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl $1\leq p\leq \infty$ ist ein $L^{p}$ -Raum definiert.

Definition

Funktionenraum mit Halbnorm

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $E$ ein Banachraum mit der Norm $\|\cdot \|$ und $1\leq p<\infty$ . Dann ist die Menge

{\mathcal {L}}^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E):=\left\{f:\Omega \to E:f\,{\rm {ist\ messbar}}\,,\int _{\Omega }\|f(x)\|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right\}

ein Vektorraum.

Die Abbildung

\|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }\|f(x)\|^{p}\,d\mu (x)\right)^{1/p}

ist eine Halbnorm auf ${\mathcal {L}}^{p}$ . Die Dreiecksungleichung für diese Halbnorm wird Minkowski-Ungleichung genannt und mit Hilfe der Hölder-Ungleichung bewiesen. Nach dem rieszschen Vollständigkeitssatz ist der Raum, versehen mit dieser Halbnorm, vollständig.

$\|\cdot \|_{p}$ ist genau dann eine Norm, wenn die einzige Nullmenge die leere Menge ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge $N\neq \emptyset$ , so ist die charakteristische Funktion $1_{N}$ ungleich der Nullfunktion, aber es gilt $\|1_{N}\|_{p}=0$ .

Faktorraum mit Norm

Um im Fall der Halbnorm einen normierten Raum zu erhalten, definieren wir den Unterraum ${\mathcal {N}}^{p}:=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}|f=0\,fast\,{\ddot {u}}berall\}$ . Der Raum $L^{p}$ ist dann definiert als der Faktorraum ${\mathcal {L}}^{p}/{\mathcal {N}}^{p}$ . Zwei Elemente von $[f],[g]\in L^{p}$ sind genau dann gleich, wenn f und g fast überall gleich sind.

Der Vektorraum $L^{p}$ ist durch $\|[f]\|_{p}:=\|f\|_{p}$ normert. Die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus $[f]$ ab, d.h., für Funktionen $f_{1},f_{2}\in [f]$ in der gleichen Äquivalenzklasse gilt $\|f_{1}\|_{p}=\|f_{2}\|_{p}$ . Das begründet sich damit, dass das Lebesgue-Integral invariant gegenüber Änderungen des Integranden auf Nullmengen ist. Der normierte Vektorraum $L^{p}$ ist vollständig und damit ein Banachraum.

Auch wenn man von sogenannten $L^{p}$ -Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen im Falle des Lebesgue-Maßes auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen Äquivalenzklasse, so dass der $L^{p}$ -Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfall p=∞

Auch für $p=\infty$ kann man einen $L^{p}$ -Raum, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen, definieren. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist:

{\mathcal {L}}^{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E):=\left\{f:\Omega \to E:f\,{\rm {ist\,messbar}}\,,\|f\|_{\infty }<\infty \right\}

;

dabei ist

\|f\|_{\infty }:=\operatorname {ess\,sup} _{x\in \Omega }|f(x)|\left(=\inf _{N\in {\mathcal {A}} \atop \mu (N)=0}\sup _{x\in \Omega \setminus N}|f(x)|\right).

Betrachten wir analog zu oben $L^{\infty }:={\mathcal {L}}^{\infty }/{\sim }$ , erhalten wir wieder einen Banachraum.

Beispiele

Die klassischste Version eines $L^{p}$ -Raums ist durch $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. ${\mathcal {A}}$ beschreibt dann die borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}(\Omega )$ , und $\mu$ ist dann das Lebesgue-Maß $\lambda$ . Darüber hinaus wird oft $E$ als die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen gewählt. In diesem Zusammenhang wird die Notation $L^{p}(\Omega ):=L^{p}(\Omega ,{\mathcal {B}}(\Omega ),\lambda ;\mathbb {R} )$ benutzt.

Einige Autoren schreiben den Parameter p unten statt oben: $L_{p}$ statt $L^{p}$ .

In der Stochastik betrachtet man $L^{p}$ -Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine messbare Funktion $X:\Omega \rightarrow E$ . Weiter ist der Erwartungswert als

E(X):=\int _{\Omega }XdP\in E

definiert. Zufallsvariablen, die $L^{1}$ -Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Da das für praktische Anwendungen immer gefordert ist, sind $L^{p}$ -Räume gerade in der Stochastik sehr wichtig.

In einem weiteren wichtigen Fall sind $\Omega$ die natürlichen Zahlen und $\mu$ das normale Zählmaß. Hier ist der $L^{p}$ -Raum der Raum aller Zahlenfolgen $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ , für die die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}$ konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit $\ell ^{p}$ bezeichnet.

Wichtige Eigenschaften

Alle $L^{p}$ -Räume für $1\leq p\leq \infty$ sind Banachräume.
Ist $\mu \;$ ein endliches Maß, gilt also $\mu (\Omega )<\infty$ , so folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte, dass $L^{q}\subseteq L^{p}\;$ für $q\geq p\geq 1\;$ .
Für $1<p<\infty$ sind die Dualräume der $L^{p}$ -Räume über reflexiven Banachräumen $E$ wieder $L^{p}$ -Räume. Konkret gilt:

L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E)^{*}\cong L^{q}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E^{*})

,

worin q definiert ist über

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1

; dabei ist der kanonische isometrische Isomorphismus gegeben durch

L^{q}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E^{*})\to L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E)^{*},\quad f\mapsto \left(g\mapsto \int _{\Omega }\!\langle g(x),f(x)\rangle _{E}\,d\mu (x)\right)

.

Daraus folgt, dass für $1<p<\infty$ und reflexives $E$ die $L^{p}$ -Räume reflexiv sind.
Für $p=1$ und $E=\mathbb {K}$ ist $L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )^{*}$ zu $L^{\infty }(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ σ-endlich ist. Ist $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ nicht $\sigma$ -endlich, so lässt sich $L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )^{*}$ (wieder unter demselben Isomorphismus) als der Banachraum der lokal messbaren lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.
Der Fall $p=2$ ist ein Sonderfall: Der $L^{2}$ ist, falls $E$ ein Hilbertraum ist, nämlich sogar ein Hilbertraum (siehe unten).
Die Räume $L^{1}$ und $L^{\infty }$ sind nicht reflexiv.
Für $1\leq p<\infty$ ist $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ dicht in $L^{p}(\Omega )$ .

Verallgemeinerungen

Es gibt auch die Verallgemeinerung der $L^{p}$ -Räume für $0<p<1$ . Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasi-norm. In diesem Fall ist jedoch

d_{p}(f,g):=\int _{\Omega }\|f(s)-g(s)\|^{p}\,ds

eine translationsinvariante Metrik auf $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E)$ , die diesen Raum zu einem vollständigen metrischen Vektorraum macht.

Berücksichtigt man in der Norm nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Ableitungen, so erhält man Sobolew-Räume, die insbesondere in der Untersuchung von Differentialgleichungen eine wichtige Rolle spielen.

Der Hilbertraum L²

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})$ ein Hilbertraum (häufig $\mathbb {C}$ mit dem Skalarprodukt $\langle w,z\rangle =w{\overline {z}}$ ) und $f,g\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;H)$ . Dann definiert

\langle f,g\rangle _{L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;H)}:=\int _{\Omega }\langle f(x),g(x)\rangle _{H}\,d\mu (x)

ein Skalarprodukt auf $L^{2}$ . Dieser Raum ist bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig und damit selbst wieder ein Hilbertraum.

Literatur

Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001