Summe

In der Mathematik ist eine Summe das Ergebnis einer Addition.

Wortgeschichte und -bedeutungen

Das Wort Summe wurde im Mittelhochdeutschen vom lateinischen summa entlehnt; bis ins 19te Jahrhundert war neben Summe auch Summa gebräuchlich. Das lateinische summa geht auf den Superlativ summus (zu superus, superior), der das oberste, höchste, größte bezeichnet.

In einem weiten Sinn bezeichnet Summe eine Gesamtheit, einen Inbegriff.

In der Alltagssprache bezeichnet Summe insbesondere einen Geldbetrag, ob durch Addition zustande gekommen oder nicht.

Summe als Ergebnis einer Addition

In dem mathematischen Term

2+3

heißen die Zahlen 2 und 3 Summanden; der gesamte Term heißt die "Summe von 2 und 3".

Man kann eine Summe von mehr als zwei Summanden bilden, zum Beispiel

4+7+1.

Aufgrund der Assoziativität der Addition muss man dabei nicht angeben, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind: weil (4+7)+1 = 4+(7+1) gilt, kann man die Summe ohne Klammern schreiben.

Aufgrund des Kommutativgesetzes der Addition ist auch die Reihenfolge der Summanden egal, d.h. es ist zum Beispiel

4+7+1 = 7+4+1.

Wenn man n-mal die gleiche Zahl a addiert, kann man die Summe auch als Produkt n·a schreiben.

Summe einer Folge, Reihe

Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann man zum Beispiel als

1+2+...+100

schreiben; es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch die Auslassungspunkte bezeichnet sind.

So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie 2+3=5 zu Buchstabenrechnungen wie 2+x=y übergeht, so möchten wir nun die Summe von 100 ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wählen wir zunächst eine Variable, zum Beispiel n, mit der wir die Anzahl der Summanden bezeichnen. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre n=100. Da wir beliebig große n zulassen wollen, ist es nicht möglich, alle n Summanden durch n verschiedene Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wählen wir einen einzigen Buchstaben, zum Beispiel a, den wir um einen Index ergänzen. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte 1, 2, ... an; unsere Summanden heißen dementsprechend a₁, a₂, ... Die Summanden bilden somit eine Zahlenfolge; siehe dazu den Artikel Folge (Mathematik).

Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen n die Summe der ersten n Glieder der Zahlenfolge als

s_n = a₁ + a₂ + ... + a_n.

schreiben. Wenn man für n verschiedene Werte 1, 2, ... einsetzt, bilden die s₁, s₂, ... ihrereseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge wird als Reihe bezeichnet.

Beispiel: für die Folge der Quadratzahlen ist a₁=1, a₂=4, a₃=9; ganz allgemein gilt

a_{n}=n^{2}.

Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit s₁=1, s₂=5, s₃=14; eine Summationsformel besagt für beliebige n:

s_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.

Weitere Summationsformeln wie zum Beispiel

1+2+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}

finden sich in der Formelsammlung Algebra. Der Beweis solcher Formeln erfolgt über vollständige Induktion.

Notation mit dem Summenzeichen

Summen über endliche oder unendliche Reihen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem Summenzeichen notiert werden:

\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{m\leq k\leq n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\dots +a_{n}

Das Summenzeichen besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Sigma, gefolgt von einem Folgenglied, das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier k) bezeichnet wird. Dieser Index heißt Lauf- oder Zählvariable. Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des Σ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten: Entweder wird unten ein Start- und oben ein Endwert angegeben (hier: m und n), oder es werden unten eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable gestellt (hier: m<k<n). Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag.

Für m=n besteht die Summe aus einem einzigen Summanden a_n. Es hat sich als nützlich erwiesen, für n = m-1 folgende Konvention einzuführen:

\sum _{k=m}^{m-1}a_{k}:=0\

(leere Summe).

In der Tensorrechnung vereinbart man häufig die Einsteinsche Summationskonvention, der zufolge das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist.

Für Doppelsummen gilt in der mathematischen Physik die Konvention, dass ein Apostroph am Summenzeichen

\sum _{ij}'...=\sum _{i\neq j}...

besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen. Zur Bezeichnung von Zählvariablen werden meistens die Buchstaben i, j und k verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.

Unendliche Summen

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel

\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=\sum _{j\geq 1}a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots

mit unendlich vielen Summanden ungleich Null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden um den entsprechenden Grenzwert zu finden. Eine solche Summe wird unendliche Reihe genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol für Unendlichkeit (∞). Siehe dazu den Artikel Reihe (Mathematik).

Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die ∞ als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe

\sum _{k>0}\left[{\frac {n}{p^{k}}}\right]=\left[{\frac {n}{p}}\right]+\left[{\frac {n}{p^{2}}}\right]+\left[{\frac {n}{p^{3}}}\right]+\dots

für Primzahlen p und der Ganzzahl-Funktion [x], zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich Null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor p in der Primfaktorzerlegung von n! vorkommt.)