Der Sinus Hyperbolicus ist eine mathematische Funktion. Man nennt sie auch den Hyperbelsinus oder den hyperbolischen Sinus . Sie ist definiert durch:
sinh
(
x
)
=
1
2
(
e
x
−
e
−
x
)
{\displaystyle \sinh(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)}
Eigenschaften
Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Cosinus Hyperbolicus :
sinh
′
(
x
)
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle \sinh '(x)=\cosh(x)}
Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus lautet:
sinh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
=
x
+
1
6
x
3
+
1
120
x
5
+
⋯
{\displaystyle =x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{120}}x^{5}+\cdots }
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man Areasinus Hyperbolicus
a
r
s
i
n
h
(
x
)
:=
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
{\displaystyle {\rm {arsinh}}(x):=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}
Graph
Weiteres
f
(
x
)
=
a
∗
sinh
(
x
)
+
b
∗
cosh
(
x
)
{\displaystyle f(x)=a*\sinh(x)+b*\cosh(x)}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in R}
Differentialgleichung )
f
″
(
x
)
−
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f''(x)-f(x)=0}
Siehe auch
