Eine Gleitspiegelung ist ein Objekt der Mathematik. Ein geometrisches Objekt wird durch eine Gleitspiegelung zunächst an einer affinen Hyperebene gespiegelt, das Resultat dann parallel zu dieser verschoben (siehe Beispiele). Gleitspiegelungen erhalten Längen, d.h. eine "gleitgespiegelte" Strecke ist genauso lang wie das Original. Gleitspiegelungen sind daher Isometrien.
Mathematische Definition
- Gleitspiegelung
- Sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Abbildung heißt Gleitspiegelung oder Schubspiegelung, wenn sie eine Verkettung (siehe Verkettung (Mathematik)) aus einer Translation mit Verschiebevektor und einer Hyperebenenspiegelung an einer affinen Hyperebene von V ist und senkrecht auf dem Normalenvektor von steht.
Gleitspiegelungen stellen Isometrien auf V dar, da sie Verknüpfungen von Isometrien sind. Gleitspiegelungen spielen besonders in der diskreten Geometrie eine Rolle, etwa bei der Klassifizierung der Isometrien in Dimension 2 und 3 oder bei der Untersuchung von Bandornamentgruppen.
Beispiele
Dimension 2
Eine affine Hyperebene in Dimension 2 ist eine Gerade. In zweidimensionalen Vektorräumen ist eine Gleitspiegelung also eine Spiegelung an einer affinen Geraden verknüpft mit einer Translation parallel zu dieser Geraden:
Gleitspiegelung in Dimension 2
Isometrien in euklidischen Vektorräumen der Dimension 2 können nach geometrischen Gesichtspunkten klassifiziert werden. Innerhalb dieser Klassifikation ist die Gleitspiegelung eine von insgesamt 5 Typen. Weitere Typen sind:
Dimension 3
In Räumen dritter Dimension ist eine affine Hyperebene eine Ebene. Eine Gleitspiegelung spiegelt ein Objekt hier also an einer Ebene und verschiebt das Resultat parallel zu dieser.
Gleitspiegelung in Dimension 2
Auch in euklidisichen Vektorräumen der Dimension drei lassen sich Isometrien geometrisch klassifizieren. Die Gleitspiegelung bildet hier einen von insgesamt 7 Typen. Man unterscheidet weiterhin:
Literatur
- Hans Schupp: Elementargeometrie, UTB Schoeningh (1977)