Planck-Skala

Die Einheiten der Planck-Skala lassen sich in einfacher Weise aus den vier grundlegenden Naturkonstanten, der Gravitationskonstante $G$, der Lichtgeschwindigkeit $c$, dem planckschen Wirkungsquantum $\hbar$ und der Boltzmann-Konstante $k_{B}$ ableiten.

Die Planck-Zeit lässt sich beispielsweise als ${\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$ (ca. 10⁻⁴³ s) und die Planck-Temperatur als ${\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{B}^{2}}}}$ ausdrücken. Durch einen Blick auf die Liste der Naturkonstanten, lässt sich ablesen, dass der Ausdruck die Planck-Temperatur die Dimension einer Temperatur besitzt und mit einem Taschenrechner lässt sich nachvollziehen, dass der Wert exakt 1,41679 · 10³² K beträgt. Die Naturkonstanten sind offenbar derart verknüpft, dass sich die richtige Dimension ergibt. Doch ergibt diese Zahlenakrobatik irgendeinen Sinn?

Die Planck-Skala markiert eine Grenze für die Anwendbarkeit der bekannten Gesetze der Physik. Distanzen, die wesentlich kleiner sind als die Planck-Länge (${\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$ ca. 10⁻³⁵ m), können nicht sinnvoll betrachtet werden. Die einzigen Objekte, die eine Ausdehnung in der Größenordnung der Planck-Länge aufweisen könnten, müssten eine Masse in der Größenordnung der Planck-Masse (${\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$ ca. 10^-8 kg) haben. Wesentlich leichtere Objekte haben eine wesentlich größere Ausdehnung auf Grund ihrer Ortsunschärfe. Für wesentlich größere Massen würde der Schwarzschildradius die Planck-Länge bei weitem übersteigen.

Ein Objekt mit einer Masse gleich der Planck-Masse und einer Ausdehnung gleich der Planck-Länge wäre sozusagen gleichzeitig das "schwerste denkbare Elementarteilchen" und das "leichteste denkbare schwarze Loch". Es ließe sich folglich weder durch die Quantenmechanik noch durch die Allgemeine Relativitätstheorie alleine beschreiben, sondern nur durch eine noch zu entwickelnde Quantengravitation, die beide Theorien als Grenzfälle enthält.

Grenzen naturwissenschaftlicher Erkenntnis

Die Planck-Länge $l_{P}$ ist ca. 10²⁰ mal kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die De-Broglie-Wellenlänge der verwendeten Teilchen vergleichbar mit $l_{P}$ sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit $E_{P}$. Die über $E=mc^{2}$ zugeordnete Masse wäre über 10¹⁶ mal größer als die Masse des schwersten bekannten Elementarteilchens, des Top-Quarks. Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den Durchmesser unseres Sonnensystems.

Diese Überlegung markiert eine bedeutende Grenze für die derzeit absehbaren Möglichkeiten der Experimentalphysik. Der einzige denkbare Prozess, bei dem vergleichbare Energien aufgetreten sein könnten, ist das Universum ungefähr eine Planck-Zeiteinheit nach dem hypothetischen Urknall. Die Planck-Einheiten lassen sich daher als ein Indiz dafür werten, dass eine Vereinigung von Quanten- und Relativitätstheorie sowie ein erschöpfendes Verständnis des Urknalls und damit des Universums und seiner Existenz sich jenseits der praktischen Möglichkeiten naturwissenschaftlicher Erkenntnis befinden könnten.

Grenze der Gültigkeit der bekannten Physik

Wie oben bereits angedeutet, führt die gleichzeitige Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen Abständen zu Problemen, wie die folgende Überlegung zeigt: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser $\Delta x$, so ist aufgrund der Unschärferelation sein Impuls nur bis auf $\Delta p$ genau bestimmt, wobei

$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

gilt. Das bedeutet, dass der Impuls mindestens Werte im Bereich bis $\Delta p={\frac {\hbar }{2\Delta x}}$ annehmen muss. Selbst für ein Teilchen ohne Ruhemasse ist damit eine Energie $E$ und damit auch eine Mindestmasse $m$ verbunden, wobei

$mc^{2}=E=\Delta pc={\frac {\hbar c}{2\Delta x}}$

Befindet sich die Masse $m$ in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwarzschildradius

$r={\frac {2Gm}{c^{2}}}$

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen $x$ erreichbar, denn mit einer Verkleinerung von $\Delta x$ wächst $\Delta p$ und damit auch $m$ und $r$ bis schließlich $r\approx \Delta x$ wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse, indem man $r=\Delta x$ setzt und die beiden letzten Gleichungen nach $r$ und $m$ auflöst.

Zum gleichen Konflikt führt auch die Vorstellung eines Vorganges, der kürzer als die Planck-Zeit wäre. Die Planck-Zeit ist die Zeit, die das Licht benötigt, um die Strecke einer Planck-Länge zurückzulegen. Eine Planck-Zeit ist daher $t_{p}=l_{p}/c$ ~ 10 ⁻⁴³ s. Da sich nichts schneller als das Licht bewegen kann, müsste ein solcher Vorgang in einem Objekt stattfinden, das kleiner als die Planck-Länge wäre.

Weblinks, Quellen

[1] aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am  .