Schwerefeld

Unter Schwere- bzw. Fall- oder auch Oberflächenbeschleunigung, kurz Schwere, versteht man im weiteren Sinne die Beschleunigung, die ein Körper im freien reibungslosen Fall auf einer Planetenoberfläche erfährt.

Physikalische Größe
Name	örtliche Fallbeschleunigung
Größenart	Beschleunigung
Formelzeichen	'g'
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI m·s-2 L·T -2 cgs cm·s-2 L·T -2 Planck Planck-Beschleunigung ħ-1/2·G-1/2·c7/2

Die Schwere auf einem (in der Regel rotierenden) Himmelskörper ist die Summe aus Gravitationsbeschleunigung (Gravitation) und Zentrifugalbeschleunigung. Der schwereverringernde Beitrag der Zentrifugalbeschleunigung ist jedoch meist gering.

Im engeren Sinne wird unter der Schwerebeschleunigung die Konstante der Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche verstanden. Sie wird mit g bezeichnet. Die Schwerebeschleunigung der Erde beträgt durchschnittlich g = 9,81 m · s^-2, variiert aber aufgrund der Zentrifugalbeschleunigung und der Erdgestalt regional um einige Promille.

Einheiten

Die SI-Einheit der Schwerebeschleunigung ist m s^-2. Der Millionste Teil davon ist 1 µm s^-2, was etwa der Messgenauigkeit von Gravimetern entspricht.

Im alten CGS-System heißt die Einheit Gal (nach Galileo Galilei) oder γ, das in der Gravimetrie und Angewandten Geophysik oft in 1000 Milligal unterteilt wird:

1 Gal = 1 γ = 1 cm s^-2 = 0,01 m s^-2

1 mGal = 10^-5 m s^-2 = 10 µm s^-2

Siehe unten. Geophysiker verwenden γ aber meistens als Formelzeichen für die theoretische Schwere unten als g_N bezeichnet.

Manchmal dient die Erdschwerebeschleunigung g auch als Einheit. Im Mittel der Erde gilt dann genähert

1 g = 9,81 m /s^-2 = 981 Gal = 981.000 mGal.

Berechnung

Die Schwerebeschleunigung bestimmt die Kraft F, mit der ein Körper m von einem Himmelskörper angezogen wird:

$F=m\cdot g$

Die Schwerkraft setzt sich aus der anziehend wirkenden Gravitationskraft und der abstoßend wirkenden Zentrifugalkraft zusammen.

${\vec {F}}_{\mathrm {Schwere} }={\vec {F}}_{\mathrm {Gravitation} }+{\vec {F}}_{\mathrm {Zentrifugal} }$

Für die Schwerebeschleunigung gilt dementsprechend:

${\vec {g}}_{\mathrm {Schwere} }={\vec {g}}_{\mathrm {Gravitation} }+{\vec {g}}_{\mathrm {Zentrifugal} }$

Am Äquator wirken Gravitationkraft und Zentrifugalkraft genau entgegengesetzt.

$g_{\mathrm {Schwere} }=g_{\mathrm {Gravitation} }-g_{\mathrm {Zentrifugal} }$

Am Pol wirkt keine Zentrifugalkraft, da der Abstand von der Rotationsachse null ist.

$g_{\mathrm {Schwere} }=g_{\mathrm {Gravitation} }$

Die Gravitationsbeschleunigung lässt sich (für Punktmassen) aus der Masse (m) und Abstand (r) mit der Gravitationskonstante (G) berechnen.

$g_{\mathrm {Gravitation} }={\frac {G\cdot m}{r^{2}}}$ mit $G=6{,}67259\cdot 10^{-11}\,{\mathrm {m^{3}} \over \mathrm {kg\,s^{2}} }$

Die Zentrifugalbeschleunigung lässt sich aus Umlaufdauer (T) und Abstand (r) berechnen.

$g_{\mathrm {Zentrifugal} }=\omega ^{2}\cdot r$ mit $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

Beispiel Erde

Die folgenden Berechnungen für die Gravitationsbeschleunigung liefern nur Näherungswerte, da es sich bei der Erde nicht um eine Punktmasse handelt.

Masse: $m=5{,}974\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg}$

Äquatorradius: $r_{\mathrm {\ddot {A}} }=6{,}378\cdot 10^{6}\,\mathrm {m}$

Polradius: $r_{\mathrm {P} }=6{,}357\cdot 10^{6}\,\mathrm {m}$

Rotationdauer: $T=0{,}9973\mathrm {d} =8{,}617\cdot 10^{4}\,\mathrm {s}$

Am Äquator:

$g_{\mathrm {Gravitation} }=9{,}799\,{\mathrm {m} \over \mathrm {s^{2}} }$ [1]

$g_{\mathrm {Zentrifugal} }=0{,}034\,{\mathrm {m} \over \mathrm {s^{2}} }$ [2]

$g_{\mathrm {Schwere} }=g_{\mathrm {Gravitation} }-g_{\mathrm {Zentrifugal} }=9{,}765\,{\mathrm {m} \over \mathrm {s^{2}} }$

Am Pol:

$g_{\mathrm {Zentrifugal} }=0$

$g_{\mathrm {Schwere} }=g_{\mathrm {Gravitation} }=9{,}864\,{\mathrm {m} \over \mathrm {s^{2}} }$ [3]

Die Schwerewerte an der Erdoberfläche lassen sich mit der Normalschwereformel genauer abschätzen, hierbei wird die Form der Erde durch einen Rotationsellipsoid angenähert. Die Normalschwereformel von 1967 liefert die von der Breite $\varphi$ abhängige Werte:

$g(\varphi )=g_{Equator}\cdot (1+b\cdot \sin(\varphi )-c\cdot \sin ^{2}(2\varphi ))$

mit

$g_{Equator}=-9.780318~m/s^{2}~~~~~~b=5.3024\cdot 10^{-3}~~~~~~c=5.87\cdot 10^{-6}$

Damit ergeben sich die Werte:

$g_{Equator}\approx 9{,}78{\mathrm {m} \over \mathrm {s^{2}} }~~~~~g_{Pol}\approx 9{,}83{\mathrm {m} \over \mathrm {s^{2}} }$;

Dies kommt den gemessenen Werten bereits sehr nahe. Eine noch bessere Beschreibung der Erdschwere muss auch weitere Unsymmetrien in der Form der Erde berücksichtigen (siehe Geoid).

Messung

Die Schwerebeschleunigung kann mit Gravimetern auf µGal genau gemessen werden.

Eine andere Methode beruht auf der Messung der Schwingungsdauer T eines Fadenpendels mit Fadenlänge L:

$g={\frac {4\pi ^{2}L}{T^{2}}}$

Schwerebeschleunigung ausgewählter Himmelskörper

Die Tabelle vergleicht die Schwerebeschleunigung der Erde mit Himmelskörpern unseres Planetensystems:

Himmels- körper	relative Schwere in g	Beschleunigung in m/s2
Merkur	0,39	3,83
Venus	0,89	8,73
Erde	1,00	9,81
Mars	0,39	3,83
Jupiter	2,50	24,53
Saturn	1,10	10,79
Uranus	0,89	8,73
Neptun	1,20	11,77
Pluto	0,059	0,58
Sonne	27,80	272,72
Mond	0,16	1,57

Zum Vergleich: Kurzzeitig überlebt ein Mensch 15 g, einige Minuten lang etwa 6 g, siehe G-Kraft.

Siehe auch

• Gravitationskonstante, kosmologische Konstante
• Beschleunigung, Erdschwerebeschleunigung
• Atwoodsche Maschine, Fallschnur
• Schwereanomalie, Schweregradient
• GRACE, Satelliten zur Bestimmung des Erdschwerefeldes