Satz von Desargues

Der Satz von Desargues, benannt nach dem französischen Mathematiker Gérard Desargues, ist grundlegend für die affine und die projektive Geometrie. Er wird je nach zugrundeliegender Geometrie in einer affinen oder einer projektiven Variante formuliert.

projektive Form: Wenn sich die Verbindungslinien zwischen korrespondierenden Eckpunkten zweier in einer Ebene gelegenen Dreiecke in einem Punkt schneiden (dem „Zentrum“), so liegen die Schnittpunkte der entsprechend verlängerten Seiten auf einer Geraden (der „Achse“). Die Umkehrung gilt auch.

Nebenstehende Abbildung zeigt zwei gelbe Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle A'B'C'$ . Die Geraden durch korrespondierende Eckpunkte ${\overline {AA'}}$ , ${\overline {BB'}}$ und ${\overline {CC'}}$ schneiden sich in einem Punkt $P$ . Damit ist die Voraussetzung des Satzes von Desargues gegeben. Als Resultat sieht man, dass die Schnittpunkte korrespondierender Dreieckseiten $Z$ (Schnittpunkt von ${\overline {AB}}$ und ${\overline {A'B'}}$ ), $X$ und $Y$ auf einer Geraden $a$ liegen.

Liegt bei einer Konfiguration das Zentrum $P$ auf der Achse $a$ so spricht man auch vom kleinen Satz von Desargues.

affine Form: Wenn sich die Verbindungslinien zwischen korrespondierenden Eckpunkten zweier in einer Ebene gelegenen Dreiecke in einem Punkt schneiden und zwei Paare korrespondierender Seiten der Dreiecke parallel sind, so ist auch das dritte Paar korrespondierender Seiten parallel.

Die affine Form des kleinen Satzes von Desargues ergibt sich, wenn statt des gemeinsamen Schnittpunkts $P$ die Parallelität der Trägergeraden ${\overline {AA'}}$ , ${\overline {BB'}}$ , ${\overline {CC'}}$ vorausgesetzt wird.

Es gibt auch affine und projektive Ebenen, in denen der Satz von Desargues nicht gilt, etwa die Moulton-Ebene. Sie sind ausgiebig studiert worden, siehe die Bücher von Pickert und Hughes-Piper.

Die O r d n u n g einer endllichen affinen Ebene ist die Anzahl der Punkte auf einer (und daher jeder) ihrer Geraden. Welche Ordnungen bei endlichen affinen Ebenen auftreten können, ist ein weitgehend ungelöstes Problem. In endlichen desarguesschen Ebenen (in denen der Satz von Desargues gilt) ist die Ordnung notwendig eine Primzahlpotenz, weil sich in ihnen Koordinaten aus einem endlichen (und daher kommutativen) Körper einführen lassen, und in ihnen gilt automatisch der Satz von Pappos. Zu jeder Primzahlpotenz q existiert eine desarguessche Ebene der Ordnung q. Alle bisher bekannten endlichen affinen Ebenen haben Primzahlpotenzordnung. Die kleinste Ordnung einer exstierenden nichtdesarguesschen Ebene ist 9. Ob es affine Ebenen von Nichtprimzahlpotenzordnung gibt, ist ein ungelöstes Problem.

Die Ordnung n ist nicht möglich für n = 6, 14, 21, 22, 30, 33, 42, 46, ...

Wie kommen diese Zahlen zustande? Der Satz von Bruck und Ryser sagt folgendes: n lasse bei Division durch 4 den Rest 1 oder 2, sei nicht Summe zweier Quadrate und sei keine Primzahlpotenz (wie in obigen Beispielen). Dann gibt es keine affine Ebene der Ordnung n.

Die Nichtexistenz einer affinen Ebene der Ordnung 10 wurde mit umfangreichem Computereinsatz bewiesen. Für alle hier nicht genannten Ordnungen n, angefangen mit 12, 15, 18, 20, 24,.... , ist die Existenzfrage ungelöst.

In mindestens dreidimensionalen affinen und projektiven Räumen gilt der Satz von Desargues immer und ist relativ leicht zu beweisen.

Literatur

Lingenberg, Rolf: Grundlagen der Geometrie I, Mannheim: Bibliographisches Institut (1969)

Pickert, Günter: Projektive Ebenen.

Hughes, Daniel and Piper, Fred: Projective planes.