Potenz (Geometrie)

Der Begriff Potenz bezeichnet in der Geometrie ein spezielles Maß dafür, wie weit außerhalb oder innerhalb eines Kreises sich ein Punkt befindet. Die Potenz eines Punktes P bezüglich eines Kreises mit Mittelpunkt M und Radius r ist gegeben durch den Rechenausdruck

${\overline {MP}}^{2}-r^{2}.$

Liegt der Punkt P außerhalb des Kreises, so ist seine Potenz positiv. Punkte, die auf dem Kreis liegen, haben die Potenz 0. Für Punkte im Kreisinneren ist die Potenz negativ. Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass für einen Punkt P außerhalb des Kreises die Potenz mit dem Quadrat der Länge eines Tangentenabschnitts übereinstimmt (in der Zeichnung also mit ${\overline {B_{1}P}}^{2}$ beziehungsweise ${\overline {B_{2}P}}^{2}$).

Unter der Potenzgeraden (Potenzlinie, Chordale) zweier Kreise versteht man den geometrischen Ort (die Menge) aller Punkte, deren Potenz in Bezug auf die beiden Kreise übereinstimmt. Soweit es sich um Punkte außerhalb der beiden Kreise handelt, müssen für Punkte der Potenzgeraden die Tangentenabschnitte an beide Kreise gleich lang sein.

Für zwei sich schneidende Kreise (Fall 3) geht die Potenzgerade durch die beiden Schnittpunkte. Falls sich die beiden Kreise berühren (Fall 2 und Fall 4), stimmt die Potenzgerade mit der gemeinsamen Tangente überein. In jedem Fall verläuft die Potenzgerade senkrecht zur Verbindungsgeraden der beiden Kreismittelpunkte.

Auch mit der folgenden Eigenschaft lässt sich der Begriff der Potenzgeraden definieren: Es handelt sich um die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, welche die gegebenen Kreise rechtwinklig schneiden.