Äquivalenz von Masse und Energie

Die Äquivalenz von Masse und Energie ist eine wichtige Erkenntnis der Physik und besagt, dass jede Masse einer Energiemenge entspricht. Daraus darf allerdings nicht geschlossen werden, dass Masse und Energie identische physikalische Größen seien. Die berühmte Gleichung $E=mc^{2}$ besagt, dass einem ruhenden Teilchen der Masse $m$ anders als in der newtonschen Mechanik eine Energie $E$ zugeschrieben werden muss, die unter Umständen in andere Energieformen (z. B. Strahlung) umgewandelt werden kann. Der Umrechnungsfaktor ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit $c$. Beobachtbare Effekte ergeben sich etwa in der Kernphysik, der Hochenergiephysik und in der Astrophysik.

“Relativitätstheorie“, sechste und letzte Skulptur beim Berliner Walk of Ideas zur FIFA Fußball-Weltmeisterschaft Deutschland 2006

Formeln

Äquivalenz von Masse und Energie

Die Äquivalenz von Masse und Energie ist gegeben durch

$E=\gamma m_{0}c^{2}=mc^{2}$,

wobei $\gamma$ der Lorentzfaktor, $m_{0}$ die Masse im ruhenden Bezugssystem, m die relativistische Masse und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Hierbei ist zu beachten, dass der Begriff der relativistischen Masse heute nur noch als Kurzschreibweise verwendet und nicht mehr als physikalische Masse interpretiert wird.

Für ein ruhendes Objekt gilt hingegen

$E_{0}=m_{0}c^{2}$,

da hier $\gamma =1$ ist.

kinetische Energie

Die kinetische Energie ergibt sich zu

$T=(\gamma -1)m_{0}c^{2}$,

was gerade der Differenz der relativistischen Gesamtenergie und Ruheenergie entspricht. Nähert sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, steigt die kinetische Energie ins Unendliche an, sodass kein massebehafteter Körper die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann.

Energie-Impuls-Beziehung

Weiter definiert man die sogenannte Energie-Impuls-Beziehung. Diese lautet

$(mc^{2})^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}$

oder

$E^{2}=E_{0}^{2}+(pc)^{2}$,

wobei p der relativistische Impuls ist.

Für masselose Teilchen, wie etwa Photonen, wird daraus

$E=pc$,

woraus auch folgt, dass Photonen einen Impuls tragen.

Diskussion

Diese an sich simple Beziehung bringt das Verständnis vieler Vorgänge in der Natur mit sich. So ist beispielsweise die abgestrahlte Energie der Sonne nichts anderes als diejenige Masse, welche bei den Kernfusionsprozessen in ihrem Innern in Energie umgewandelt wird. Da die Sonne eine Leistung von $L_{\odot }=3{,}86\cdot 10^{26}W$ abgibt, wird sie pro Sekunde um etwa 4,2 Millionen Tonnen leichter. Aufgrund ihrer enormen Masse von rund 2·10²⁷ Tonnen fällt dies jedoch nicht ins Gewicht.

Die Äquivalenz von Masse und Energie findet sich in sehr vielen Bereichen der Natur. Virtuelle Teilchen, die im Vakuum entstehen und innerhalb der heisenbergschen Unschärfe entstehen können, leihen sich ihre Energie aus dem Vakuum, um für kurze Augenblicke zu existieren und sich anschließend wieder gegenseitig zu vernichten. Überhaupt spielt die Umwandlung von Masse in Energie und umgekehrt in der Elementarteilchenphysik eine fundamentale Rolle. In Teilchenbeschleunigern, wie etwa am CERN, werden Teilchen mit ultra relativistischen Geschwindigkeiten, d.h. Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit, aufeinander geschossen und zur Kollision gebracht. Die hohen kinetischen Energien werden bei der Kollision in neue Teilchen umgewandelt, die dann von den Detektoren beobachtet werden.

In der Astrophysik finden sich neben den Sternen noch andere Gebilde, die eine Umwandlung von Masse in Energie herbeiführen. In den Akkretionsscheiben um aktive Galaxienkerne herum ist die Materie so heiß und dicht, dass sie beim Einfall in das schwarze Loch aufgrund der Reibung so stark erhitzt, dass sie zu einem großen Teil in Energie umgewandelt wird. Diese so genannten Gamma Ray Bursts können mit Teleskopen beobachtet und untersucht werden. Sie stellen die massivste Form von Energiefreisetzung im gesamten Universum dar.

Herleitung

Aus den im Artikel über Vierervektoren abgeleiteten Größen können sowohl die Äquivalenz von Masse und Energie, als auch die Energie-Impuls Beziehung hergeleitet werden.

Äquivalenz von Masse und Energie

Wir benötigen dazu die Vierergeschwindigkeit

$v^{\mu }=\gamma (c,\mathbf {v} )$

$v_{\mu }=\gamma (c,-\mathbf {v} )$

den Viererimpuls

$p^{\mu }=m_{0}v^{\mu }=\gamma m_{0}(c,\mathbf {v} )$

und die Viererkraft

$F^{\mu }={\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=(F^{0},\mathbf {F} )=(F^{0},\gamma \mathbf {F} _{N})$,

mit dem Zusammenhang zwischen der Eigenzeit $\tau$ und der Zeit t

$\mathrm {d} \tau ={\frac {1}{\gamma }}\mathrm {d} t$.

Als erstes berechnen wir das Skalarprodukt der Vierergeschwindigkeit und der Viererkraft, mit

$v_{\mu }F^{\mu }=v_{\mu }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(m_{0}v^{\mu })={\frac {1}{2}}m_{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(v_{\mu }v^{\mu })={\frac {1}{2}}m_{0}{\frac {\mathrm {d} c^{2}}{\mathrm {d} \tau }}=0$,

da die Ableitung einer Konstanten Null ist. Hierbei wurde benutzt, dass $v_{\mu }v^{\mu }=c^{2}$ ist (siehe Vierervektor).

Das Skalarprodukt lässt sich jedoch auch schreiben als

$v_{\mu }F^{\mu }=\gamma (c,-\mathbf {v} )(F^{0},\gamma \mathbf {\mathbf {F} } _{N})=\gamma cF^{0}-\gamma ^{2}\mathbf {F} _{N}\mathbf {v} =0$,

wobei wir aufgrund obiger Rechnung wissen, dass dies gleich Null ist. Das zeitliche Element der Viererkraft ergibt sich durch umstellen der letzten Gleichung zu

$F^{0}={\frac {1}{c}}\gamma \mathbf {F} _{N}\mathbf {v}$,

oder über die Definition der Viererkraft

$F^{0}={\frac {\mathrm {d} p^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(\gamma m_{0}c)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma ^{2}m_{0}c)$.

Da dies beides das zeitliche Element der Viererkraft darstellt, ergibt sich die Gleichung

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma ^{2}m_{0}c)={\frac {1}{c}}\gamma \mathbf {F} _{N}\mathbf {v}$

und damit schließlich

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma m_{0}c^{2})=\mathbf {F} _{N}\mathbf {v}$.

Die Größe $\mathbf {F} _{N}\mathbf {v}$ ist die zeitliche Ableitung der Energie E, d.h.

$\mathbf {F} _{N}\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {F} _{N}\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$,

also

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma m_{0}c^{2})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {F} _{N}\mathbf {x} )={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$,

und damit

$E=\gamma m_{0}c^{2}=mc^{2}$

in einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Inertialsystem. Im Ruhesystem gilt dann

$E_{0}=m_{0}c^{2}$

Energie-Impuls-Beziehung

Wir berechnen das Quadrat des Viererimpulses auf zwei Weisen, mit

$p_{\mu }p^{\mu }=m_{0}^{2}v_{\mu }v^{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}$,

und

$p_{\mu }p^{\mu }=\gamma ^{2}m_{0}^{2}(c^{2}-\mathbf {v} ^{2})=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{2}-\gamma ^{2}m_{0}^{2}\mathbf {v} ^{2}=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{2}-\mathbf {p} ^{2}$.

Damit ergibt sich die Gleichung

$m_{0}^{2}c^{2}=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{2}-\mathbf {p} ^{2}$.

Multiplikation mit $c^{2}$ ergibt

$m_{0}^{2}c^{4}=\gamma ^{2}m_{0}^{2}c^{4}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}$

Da wir bereits wissen, dass der Ausdruck $E_{0}=m_{0}c^{2}$, lässt sich dies schreiben als

$E_{0}^{2}=E^{2}-(\mathbf {p} c)^{2}$

Oder in der bekannten Reihenfolge

$E^{2}=E_{0}^{2}+(\mathbf {p} c)^{2}$.

Folgerung für Photonen

Die relativistische Gesamtenergie E ist nichts anderes als die Hamiltonfunktion eines freien relativistischen Teilchens, mit

$E=H={\sqrt {E_{0}^{2}+(pc)^{2}}}$.

Aus den Hamilton'schen Bewegungsgleichungen folgt dann für die generalisierte Geschwindigkeit

${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {pc^{2}}{\sqrt {E_{0}^{2}+(pc)^{2}}}}$.

Für Photonen ist ${\dot {q}}=c$, was nur für E₀=0 erfüllt ist - also wenn die Masse des Teilchens verschwindet. Photonen tragen demnach keine Masse und ihre Energie ergibt sich aus der Energie-Impuls-Beziehung sofort zu

$E=pc$.

Beispiel

Die Masse eines Atoms ist stets etwas kleiner als die Summe der Massen der einzelnen Teilchen, welche das Atom aufbauen. Dies liegt daran, dass die Bindungsenergie der Teilchen bei der Bindung frei wird, sodass dies zu einer kleinen Verringerung der Masse führt. Bei Protonen und Neutronen, welche aus Quarks aufgebaut sind, stellt sich dies etwas anders dar. Nur etwa 1% ihrer Masse besteht aus der Masse der Quarks, wohingegen die restlichen 99% in der Dynamik der starken Wechselwirkung enthalten sind. Ein 80 kg schwerer Mensch besteht damit nur zu rund 800 g aus Teilchen, wobei die restliche Masse in Form dieser dynamischen Energie nur dazu gebraucht wird, um die Teilchen zusammen zu halten.

Geschichte

Obwohl Einstein der erste war, der die Formel E=mc² korrekt und im Zusammenhang einer übergeordneten Theorie wie der speziellen Relativitätstheorie ableitete, war er nicht der erste, der Masse mit Energie assoziierte. Weil das elektromagnetische Feld einen Teil des Impulses eines bewegten Körpers trägt, wurde angenommen dass die Masse eines Elektrons in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit variieren würde und em-Felder selber zur Masse von geladenen Körpern beitragen können. Viele Autoren stellten nun verschiedene Theorien über einen möglichen Masse-Energie Zusammenhang auf.

Newton: Materie und Licht

1717 spekulierte Isaac Newton, dass Lichtteilchen und Materieteilchen ineinander überführbar seien und er schrieb:

“Are not the gross bodies and light convertible into one another, and may not bodies receive much of their activity from the particles of light which enter their composition?”

„Auf Deutsch ungefähr: Sind nicht normale Materie und Licht ineinander umwandelbar, und können die Körper nicht viel von ihrer Aktivität von den Lichtteilchen erhalten, wenn diese aufgenommen werden?“

– Isaac Newton: Query 30, Opticks

Da Newton jedoch Licht nicht als Bewegung eines Feldes verstand, spekulierte er nicht über eine Umwandlung von Bewegung in Materie. Und da ihm nicht der moderne Energiebegriff bekannt war, konnte er nicht gewusst haben, dass die Umwandlung von Licht in Materie gleichbedeutend ist mit der Umwandlung von Arbeit in Masse.

Poincaré: Fiktives Fluid

Henri Poincaré untersuchte 1900 Problem der Gültigkeit von action/reactio im Rahmen der Lorentzschen Äthertheorie am Beispiel der Schwerpunktbewegung von Materie, welche der Wirkung eines elektromagnetischen Feldes ausgesetzt ist. Dabei zeigte sich, dass das Reaktionsprinzip nicht auf die Materie alleine anwendbar ist, sondern es muss angenommen werden, dass die em-Energie einem mit Trägheit und Impuls ausgestatteten fiktiven oder fingierten Fluid („fluide fictif“) vergleichbar ist, wobei Poincaré die Massendichte dieses Fluids mit E/c² angab. Wird nun angenommen, dass das gesamte Schwerpunktsystem aus der Masse der Materie und der Masse des fiktiven Fluids besteht, und wird die Unzerstörbarkeit des fiktiven Fluid vorausgesetzt (d.h. es wird weder erzeugt noch vernichtet), bleibt nach Poincaré die Schwerpunktsbewegung erhalten.

Da jedoch em-Energie auch in andere Energieformen umgewandelt werden kann, ist die Unzerstörbarkeit des fiktiven Fluids nicht garantiert, was den Unterschied zu einem realen Fluid ausmacht. Deshalb muss angenommen werden, dass an jedem Punkt des Raumes ein nicht-elektrisches Energiereservoir oder Fluid existiert, aus dem und in das die em-Energie unter bestimmten Bedingungen entstehen und wieder verschwinden kann. Werden alle diese Komponenten berücksichtigt bleibt die Schwerpunktbewegung erhalten. Poincaré fügte dabei an, dass man sich nicht zu sehr über diese Annahmen wundern soll, da es ja nur (wie bei Lorentz) mathematische Fiktionen seien.

Das führt nach Poincaré jedoch zu folgendem Paradoxon: Betrachtet man eine Lichtquelle, wird diese aufgrund der Trägheit des fiktiven Fluids bei der Emission einen Rückstoß erfahren. Unter Berücksichtigung der Ortszeit führte Poincaré eine Transformation in das mit der Quelle mitbewegte System durch und ersah, dass zwar in beiden Bezugssystemen die Energiebilanz korrekt ist, jedoch die Impulsbilanz nicht ausgeglichen ist, wodurch es möglich wäre ein perpetuum mobile zu konstruieren. Auch die Naturgesetze würden in den Bezugssystemen unterschiedlich ausfallen und das Relativitätsprinzip wäre verletzt.

Als Poincaré jedoch 1904 auf dieses Thema zurückkam, lehnte er die Verbindung von Masse und em-Energie ab schrieb er mit Blick auf den Rückstoß, den ein Emitter erfährt:

Was geschieht nun nach der Theorie? Der Apparat wird zurückweichen, als ob er eine Kanone, und die Energie, die er ausgestrahlt hat, eine Kugel wäre, und dies widerspricht dem Newtonschen Prinzip weil unser Geschoß hier keine Masse hat, es ist keine Materie, es ist Energie.

Er lehnte auch Hilfshypothesen ab wie diejenige, nach der ein "nicht wägbares Fluidum" im Raume existiert und mit der Energie wechselwirkt. Denn der Versuch von Fizeau habe gezeigt, dass Materie von keinem Medium (vollständig) mitgeführt wird. Auch lehnte er die Konstruktion ab, dass der Äther durch irgendwelche Bewegungen einen Ausgleich herbeiführt, denn man könne solche Bewegungen zwar immer erfinden, aber sie wären nicht überprüfbar und somit wissenschaftlich wertlos. Ebenso sah er die im vorigen Abschnitt besprochene Verletzung des Massenerhaltungssatzes als Verletzung des Reaktionsprinzips an. Selbst 1908 lehnte er die Vorstellung, dass Energie alleine Masse besitze ab und führte die selben Argumente wie 1904 an um zu zeigen, dass das Reaktionsprinzip nicht mit der lorentzschen Mechanik verträglich ist.

Abraham, Hasenöhrl: Scheinbare Masse

Poincaré folgend führte Max Abraham 1902-1904 den Begriff "elektromagnetischer Impuls" ein um das Reaktionsprinzip aufrechterhalten zu können. Er kritisierte an Poincaré's Vorgehensweise, dass dieser keinen Beweis für seine Annahme gegeben habe. Das tat Abraham nun und bestätigte Poincarés Resultat, wobei er die Felddichte des Impulses pro cm³ mit E/c² und pro cm² mit E/c angab.

1904 verband Friedrich Hasenöhrl Energie mit Trägheit in einer Schrift, welche nach seinen eigenen Worten sehr ähnlich zu denen von Abraham war. Hasenöhrl nahm an, dass ein Teil der Masse eines Körpers (die "scheinbare Masse") als Strahlung in einem Hohlkörper aufgefasst werden kann. Die Trägheit dieser Strahlung ist proportional zu ihrer Energie nach der Formel $m=(8/3)E/c^{2}$ Jedoch veröffentlichte er 1905 die Zusammenfassung einen Briefes, den Abraham an ihn geschrieben hatte, in welchem Abraham das Ergebnis bemängelte und als korrigierten Wert für die scheinbare Masse $m=(4/3)E/c^{2}$ angab. Hasenöhrl überprüfte seine eigenen Berechnungen und bestätigte Abrahams Resultat.

1914 argumentierte Cunningham, dass wenn Hasenöhrl den Strahlungsdruck an der Außenhülle berücksichtigt hätte, wäre er zu dem richtigen Resultat m=E/c² gekommen. Philipp Lenard versuchte später, Hasenöhrl im Sinne des Nationalsozialismus zu instrumentalisieren und diesen als eigentlichen, "arischen" Erfindern der Äquivalenzformel einzusetzen.

Einstein: Masse-Energie-Äquivalenz

1905

Einstein stellte sich einen ruhenden Körper mit der Masse M vor. Aus der Sicht eines Bezugssystems, in dem sich der Körper mit v bewegt, hat dieser den Impuls Mv. Man stelle sich nun vor, dass der Körper nach links und rechts Lichtstrahlen emittiert, welche jeweils die Energie E/2 tragen. Da die beiden Strahlen gleich stark sind, bleibt der Körper in Ruhe. Aus der Sicht des bewegten Systems jedoch, in dem sich der Körper mit v nach rechts bewegt, ist das nach links emittierte Licht rotverschoben, und in der anderen Richtung blauverschoben. Der Impuls ist nicht ausgeglichen und der Körper verliert auch an kinetischer Energie.

Aber der Körper hat in dem Ruhsystem der Quelle keine Änderung der Geschwindigkeit erfahren und kann das auch im anderen System nicht tun. Um dieses Problem zu lösen, muss angenommen werden, dass der Körper mit der Energie auch an Masse verliert. (Wobei diese Antwort auch Poincarés Strahlungsparadoxon auflöst).

Etwas genauer: Wenn die Geschwindigkeit klein ist, so ist das auch rechts strahlende Licht blauverschoben um den nicht-relativistischen Dopplereffekt mit dem Faktor (1-v/c). Der Impuls des Lichts ist E/c, und er wird um den Faktor v/c gesteigert. Also hat dieser Strahl den Extraimpuls $\Delta P$ von

$\Delta P={v \over c}{E \over 2c}.$

Der nach links gerichtete Strahl trägt weniger Impuls um den selben Wert $\Delta P$. D.h. der gesamte Impuls ist zweimal $\Delta P$, welcher der Körper verloren hat:

$2\Delta P=v{E \over c^{2}}$

Der Impuls des Körpers im bewegten System ist nach der Emission um folgenden Wert reduziert worden:

$P'=Mv-2\Delta P=\left(M-{E \over c^{2}}\right)v$

Also die Veränderung der Masse des Objekts ist gleich E/c². Da jede Emission in zwei Schritten ausgeführt werden kann, nämlich die Emission als Licht und die Umwandlung von Licht in andere Formen von Energie, ist jede Emission mit einem Verlust an Masse verbunden. Das gleiche findet umgekehrt bei der Absorption statt.

1906

Ähnlich wie Poincaré konnte Einstein 1906 zeigen, dass das Theorem von der Erhaltung und Bewegung des Schwerpunkts auch bei elektrodynamischer Betrachtung gültig ist, wenn die Trägheit der (elektromagnetischen) Energie vorausgesetzt wird. Wobei er aufgrund seiner Kenntnis der Äquivalenz nicht wie Poincaré fiktive Massen einführen musste, sondern nur aufzuzeigen braucht, wie die Emission und Absorption von Energie zur Übertragung der Trägheit führt, wodurch auch kein Perpetuum Mobile entstehen kann. Dabei verwies er auf die Arbeit von Poincaré und bewertete dessen Inhalt als weitgehend übereinstimmend mit seinem eigenen Text. Einstein schrieb in der Einleitung:

Trotzdem die einfachen formalen Betrachtungen, die zum Nachweis dieser Behauptung durchgeführt werden müssen, in der Hauptsache bereits in einer Arbeit von H. Poincaré enthalten sind², werde ich mich doch der Übersichtlichkeit halber nicht auf jene Arbeit stützen.

Ebenso kann mit Einsteins Ansatz der von Poincaré angesprochene Widerspruch zwischen der Aufgabe des Massenerhaltungssatz und dem Reaktionsprinzip gelöst werden, da dieser Erhaltungssatz jetzt ein Spezialfall des Energieerhaltungssatzes ist.

Siehe auch

• Massendefekt
• Materiewelle
• Photonenwaage

Weblinks

• Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• Populäre Erklärung der Formel mit Grafiken