Kettenlinie (Mathematik)

Eine Katenoide (auch Kettenlinie oder Kettenkurve, englisch catenary oder funicular curve) ist eine mathematische Kurve, die den Durchhang einer an ihren Enden aufgehängten Kette unter Einfluss der Schwerkraft beschreibt. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

Katenoide (rot) im Vergleich mit einer Parabel

Stehende Kettenlinie aus 17 speziellen Klötzchen

y(x)=a\cdot \cosh \left({\frac {x-x_{0}}{a}}\right)+y_{0}

oder, wenn der Scheitel bei $(0|0)$ liegt:

y(x)=a\cdot \left(\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)-1\right)

$a$ ist eine Konstante, $x_{0}$ die Verschiebung in $x$ -Richtung, $y_{0}$ die Verschiebung in $y$ -Richtung und cosh der Cosinus Hyperbolicus.

Erst Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens und Johann Bernoulli wiesen 1691 nach, dass sich die Kettenkurve von einer Parabel unterscheidet. Die Abbildung vergleicht den Kurvenverlauf einer Kettenlinie (rot) mit einer Normalparabel (blau). Bei gleicher Höhe ist die Parabel kürzer, die Kettenkurve weniger gekrümmt.

Die Kettenkurve ist die Lösung der Differentialgleichung:

a\cdot y''(x)={\sqrt {1+y'^{2}(x)}}

Die Gleichung folgt aus der Überlegung, dass die Masse sich gleichmäßig über die Kette verteilt und ein Kräftegleichgewicht besteht. Dazu werden die Kräfte auf ein kleines Teilstück der Länge

ds={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}

betrachtet. Die Zugkraft durch die Kette kompensiert die Schwerkraft. Die Schwerkraft ist proportional der Länge des Kettenabschnitts ds. Die an den Enden des Abschnitts ds anliegenden horizontalen Zugkräfte sind entgegengesetzt und vom gleichen Betrag. Die vertikalen Zugkräfte unterscheiden sich gerade durch die Gewichtskraft des Abschnitts ds. Das Verhältnis von vertikaler und horizontaler Zugkraft ist durch die Ableitung $y'(x)=\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)$ gegeben. Die Änderung der vertikalen Komponente, die resultierende Kraft, ist daher proportional zu $y''(x)dx$ und gleich der Gewichtskraft proportional $ds$ .

F_{\mathrm {Zug} }=F_{\mathrm {Gewicht} }

a\cdot y''(x)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} x}}

a\cdot y''(x)={\frac {\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}{\mathrm {d} x}}

a\cdot y''(x)={\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}

Die Länge der Kettenkurve zwischen der Mitte $x=0$ und $x=W$ beträgt (siehe Beispiele für Kurvenintegrale):

L=\int _{0}^{W}{\sqrt {1+y'^{2}(x)}}{\rm {dx={a}\int _{0}^{W}y''(x){\rm {dx={a}\left[y'(x)\right]_{0}^{W}}}}}

={a}\cdot \left(\sinh \left({\frac {W}{a}}\right)-\sinh \left({\frac {0}{a}}\right)\right)=a\cdot \sinh \left({\frac {W}{a}}\right)

Für a = 100 m und einem Mastabstand von 200 m, wird ein $2\times 117,5\,m$ langes Seil benötigt. Der Durchhang beträgt 54 m. Für ein Stahlseil mit 100 cm² Querschnitt wiegt eine Seilhälfte 9,2 t. Die entsprechende Gewichtskraft von 9 10⁴ N ist die vertikale Kraft an der Aufhängung. Die horizontale Kraft an einer Aufhängung beträgt 7,7 10⁴ N.

Beträgt a etwa 20,2 % der gesamten Breite (2W) ist der Durchhang gleich der Breite. Eine auf den Kopf gestellte Katenoide folgt der Stützlinie eines freitragenden scherkräftefreien Bogens. Diese Form wurde beispielsweise annähernd für den 192 m hohen Gateway Arch in St. Louis gewählt und ist ein Konstruktionsprinzip der Kathedrale Sagrada Família von Antoni Gaudí.

Die durch Rotation der Katenoide um die x-Achse erzeugte Rotationsfläche wird als Katenoid bezeichnet und ist eine Minimalfläche.

Siehe auch

Weblinks