Eulersche Zahl

Die nach Leonhard Euler benannte Eulersche Zahl e=2,718281828459... ist die Basis des sogenannten natürlichen Logarithmus. Sie spielt in der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) eine große Rolle. Die e-Funktion (Exponentialfunktion) f(x)=e^x = e^x (gesprochen e hoch x) bleibt nämlich beim Differenzieren und Integrieren unverändert.

Die Zahl e kann unter anderem durch eine Grenzwertbildung definiert werden. Zwei bekannte Darstellungen dieser transzendenten Zahl lauten:

e = lim (1+1/n)ⁿ (n strebt gegen positiv unendlich)
e = 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) + ... + 1/(1*2*...*n) + ...

wobei man letztete Formel durch die Fakultätsschreibweise mit dem "!"-Zeichen im allgemeinen noch zu

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n! + ...

abkürzt. Da e eine transzendente Zahl ist, ist der entstehende Dezimalbruch unendlich und nicht periodisch.

Es gilt:

(e^x)' = e^x (Die Ableitung (von f(x)=e^x) ist gleich f(x))

e^i*π = -1

Diese mathematische Reihe kann man sehr einfach in ein Basicprogramm umsetzen, um Näherungswerte für e zu ermitteln:

E = 1 : F = 1

For K = 1 to 10
  F = F*K
  E = E + 1/F
  Print E
Next K

Am Anfang hat man E und F gleich 1 gesetzt. F ist die Fakultätsvariable, die nach dem gewünschten Ausdruch zu F = K! anwächst. Mit wachsendem Schleifendurchlauf nähert sich der Wert von E immer mehr an den wahren Wert von e an.

Anschauliche Interpretation

Den Grenzwert der 1. Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar eine Mark auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz von 100%. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?

Nach der Zinseszinsformel ist das Kapital nach n Verzinsungen K_n = K₀ * (1+p)ⁿ, wobei K₀ das Startkapital, p der Zinssatz, und n die Anzahl der Verzinsungen sind.

In unseren Beispiel sind K₀ = 1 DM, p = 100% = 1, wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder p = 100% / n = 1/n, wenn der Zinszuschlag n mal im Jahr erfolgt.

Bei jährlichem Zuschlag wäre K₁ = 1*(1+1)¹ DM = 2,00 DM. Bei halbjährlichem Zuschlag hat man p = 1/2, also K₂ = 1*(1+0,5)² DM = 2,25 DM, also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung (p=1/365) erhalten wir K₃₆₅= 1*(1+1/365)³⁶⁵ = 2,714567... DM. Wenn man momentan verzinst, wird n unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene 1. Formel für e.

Externe Links

http://www.mathsoft.com/asolve/constant/e/e.html

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