Wienerprozess

Ein Wiener-Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte Zuwächse hat. Benannt wurde er nach dem amerikanischem Mathematiker Norbert Wiener. Er ist auch als Brownsche Bewegung bekannt.

Definition

Ein stochastischer Prozess $W_{t}$ heißt Wiener-Prozess, wenn die drei folgenden Bedingungen gelten:

• $W_{0}=0$
• $W_{t}-W_{s}\;\sim \;{\mathcal {N}}\left(0,{\sqrt {t-s}}\right)\;\;\forall \;s<t$
• Ist $0<s<t<u<v$, so sind $W_{t}-W_{s}$ und $W_{v}-W_{u}$ unabhängige Zufallsvariablen.

Eigenschaften

• Da $E(W_{t}|W_{s})=W_{s}$ für $s<t$ ist, ist $W_{t}$ ein Martingal.
• Ein stochastischer Prozess $X_{t}=W_{t+s}-W_{s}$ ist ebenfalls ein Wiener-Prozess; hier werden die Zuwächse vom Zeitpunkt $s$ an betrachtet.
• Auch $X_{t}={\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\cdot W_{\alpha \cdot t}$ ist ein Wiener Prozess.
• Die Pfade eines Wiener-Prozesses sind fast sicher an keiner Stelle differenzierbar, sind jedoch fast sicher stetig.
• Für die quadratische Variation gilt $<W_{t}>=t$.
• Es gilt $cov(W_{s},W_{t})=s$ für $s<t$, unabhängig davon, wie groß $t$ ist.

Allgemeiner Fall

Ein stochastischer Prozess

$X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}$

hat eine Drift $\mu$ und eine Volatilität $\sigma$. Damit lassen sich auch stochastische Prozesse darstellen, die tendenziell eher fallen ($\mu <0$) oder tendenziell eher steigen ($\mu >0$). Dabei gilt

$X_{t}-X_{s}\sim {\mathcal {N}}\left(\mu t,{\sqrt {\sigma \left(t-s\right)}}\right)$.

Ist $\mu <0$, so ist $X_{t}$ ein Supermartingal, ist $\mu <0$, so ist $X_{t}$ ein Submartingal. Für $\mu =0$ ist $X_{t}$ ein Martingal.

Geometrischer Wiener-Prozess

Ist $\ln(X_{t})$ ein Wiener-Prozess, dann heißt $X_{t}$ geometrischer Wiener-Prozess. Dabei kann $X_{t}$ mit Hilfe eines Wiener-Prozesses modelliert werden:

$X_{t}=e^{\left(\mu t+\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma t\right)}$

beziehungsweise als stochastische Differentialgleichung

$dX_{t}=\mu X_{t}dt+\sigma X_{t}dW_{t}$.

Dabei ist ${\frac {X_{t}}{X_{s}}}$ lognormalverteilt. Ein geometrischer Wiener-Prozess kann dabei keine Werte kleiner oder gleich 0 annehmen. Ist $\mu =0$, so ist der geometrische Wiener-Prozess ebenfalls ein Martingal.

Anwendung

Geometrische Wiener-Prozesse werden häufig eingesetzt, um Kurse von Aktien zu modellieren.