Todd-Coxeter-Algorithmus

Der Todd-Coxeter-Algorithmus ist nach den beiden britischen Mathematikern John Arthur Todd und Harold Scott MacDonald Coxeter benannt. Sei $H$ eine Untergruppe von $G$ und $G$ eine endliche Gruppe. Der Todd-Coxeter-Algorithmus ist eine Methode um die Nebenklassen von $H$ in $G$ abzuzählen. Zusätzlich lässt sich durch den Algorithmus die Operation von $G$ auch die Menge der Nebenklassen bestimmen.

Durch den Todd-Coxeter-Algorithmus gelangt man in einer endlichen Zahl an Schritten ans Ziel, die Rechenzeit ist jedoch nicht vorhersagbar.

Für eine Berechnung müssen sowohl die Gruppe $G$ wie die Untergruppe $H$ explizit angegeben sein. Daher nehme man an, $G$ sei durch die Erzeugende $x_{1},...,x_{m}$ und die Relationen $r_{1},...,r_{k}$ konkret dargestellt:

$G=\left\langle x_{1},...,x_{m};r_{1},...,r_{k}\right\rangle$.

Damit ist $G$ als Faktorgruppe $F/N$ realisiert, wobei $F$ die freie Gruppe auf der Menge $\lbrace x_{1},...,x_{m}\rbrace$ und $N$ Normalteiler von $F$ ist, der $\lbrace r_{1},...,r_{k}\rbrace$ enthält. Weiterhin sei vorausgesetzt, dass die Untergruppe $H$ durch eine Menge von Wörtern in der freien Gruppe gegeben sei: $\lbrace h_{1},...,h_{s}\rbrace$, deren Bilder in $G$ die Untergruppe $H$ erzeugen.

Beispielhaft sei die Gruppe $G$ durch die drei Erzeugenden $x,y,z$ und den Relationen $x^{3},y^{2},z^{2},xyz$ definiert und als Untergruppe $H$ die von $z$ erzeugte zyklische Untergruppe:

$G=\left\langle x,y,z;x^{3},y^{2},xyz\right\rangle$, $H$ erzeugt von $\lbrace z\rbrace$

Da die Operationen auf Nebenklassen bestimmt werden sollen, und sich diese als Permutationsdarstellung beschreiben lassen, muss festgesetzt werden wie diese explizit angegeben werden sollen. Es sei festgelegt, dass $G$ von rechts operiert. Die Menge der Rechtsnebenklassen $Hg$ sei als ${\mathcal {K}}$ bezeichnet. Um die Operation von $G$ auf ${\mathcal {K}}$ explizit anzugeben, seien die durch die erzeugende Elemente $x,y,z$ induzierte Permutation beschrieben.

Für die Operationen auf ${\mathcal {K}}$ gelten folgende Regeln:

1. Jedes Erzeugende (hier: $x,y,z$) operiert als Permutation.
2. Die Relation (hier: $x^{3},y^{2},z^{2},xyz$) operiert trivial.
3. Die Erzeugenden von $H$ (hier:$z$) lassen die Nebenklasse $H1$ fest.
4. Die Operation auf der Menge der Nebenklassen ist transitiv.

Die erste Regel ist eine allgemeine Eigenschaft von Gruppenoperationen, die aus der Invertierbarkeit von Gruppenelementen folgt. Die zweite Regel gilt, da die Relation in $G$ das Element $1$ repräsentiert, und eigentlich die Gruppe $G$ operiert. Die Regeln 3 und 4 sind spezielle Eigenschaften der Operation auf Nebenklassen.

Beispiel

Animation eines Tetraeders

Man betrachte die Tetraedergruppe $T$ der zwölf Drehsymmetrien eines regelmäßigen Tetraeders. Die Drehungen gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel ${\tfrac {2\pi }{3}}$ um einen Eckpunkt bzw. um einen Mittelpunkt einer Seitenfläche werden mit $y$ bzw. $x$ bezeichnet. Daraus resultiert die Drehung um den Mittelpunkt einer Kante $xy=z$ um $\pi$. Es gelten folgende Relationen:

$x^{3}=1,\quad y^{3}=1,\quad xyxy=1.$

Es wird zu zeigen sein, dass die genannten Relationen T definieren. Dafür betrachte man die Gruppe $G=\left\langle x,y;x^{3},y^{3},xyxy\right\rangle$. Da die Relationen in der Tetraedergruppe erfüllt sind, liefert die Abbildungseigenschaft von Faktorgruppen einen Homomorphismus $\varphi :G\to T$.Da x und y die Gruppe T erzeugen ist der Homomorphismus surjektiv. Um nachzuweisen, dass $\varphi$ injektiv ist, muss gezeigt werden, dass die Ordnung der Gruppe G gleich 12 ist.

Um das zu erreichen, könnte man die Nebenklassen der trivialen Untergruppe $H={1}$ zählen und so die Ordnung von G ermitteln. Allerdings wäre das nicht sehr effizient. Günstiger ist es, eine nichttriviale Untergruppe H von G zu benutzen, wie beispielsweise diejenige, die von y erzeugt wird. Diese Untergruppe H hat wegen $y^{3}=1$ höchstens die Ordnung 3. Es reicht damit zu zeigen, dass die Ordnung von H sogar gleich 3 und der Index von H in G gleich 4 ist. Das würde folgen, dass G die Ordnung 12 hat.

Laut Algorithmus wird die Permutationsdarstellung von G bestimmt, welche die Operation auf die Menge der Nebenklassen beschreibt. Als Bezeichnung für die Nebenklassen verwendet man beispielsweise Nummer 1,2,3,..., wobei 1 für die Nebenklasse H1 reserviert ist. Da man die Anzahl der Nebenklassen noch nicht kennt, kann man noch nicht entscheiden, wie viel Nummern benötigt werden. Im Laufe des Verfahrens werden schrittweise neue Nummern eingeführt, sobald sie gebraucht werden.

Das Verfahren liefert folgende Tabelle:

$x\ x\ x$				$y\ y\ y\$			$x\ y\ x\ y\$
1	2	3	1	1	1	1	2	3	1	1
2	3	1	2	3	4	2	3	4	4	2
3	1	2	3	4	2	3	1	1	2	3
4	4	4	4	2	3	4	4	2	3	4

Aus dem Verfahren ergibt sich die zugehörige Permutationsdarstellung

$x=(123),\quad y=(234).$

Da vier Ziffern vorkommen, ist der Index von H in G gleich 4. y hat die Ordnung 3, weil wegen der Relation $y^{3}=1$ die Ordnung höchsten gleich 3 sein kann und sie ist mindestens gleich 3, weil die y zugeordnete Permutation von Ordnung 3 ist. Damit ist die Ordnung von G gleich 12. Die Permutationsdarstellung liefert außerdem einen Isomorphismus von T auf die von der Permutation erzeugten Gruppe. Man kann sich davon überzeugen, dass dies die alternierende Gruppe $A_{4}$ ist. Damit ist die Tetraedergruppe T isomorph zu $A_{4}$.

Literatur

• Michael Artin: Algebra, Birkhäuser Verlag, 1993, ISBN 3-7643-2927-0

Weblink

• Aufsatz zum Todd-Coxeter-Algorithmus (französisch)