Diskussion:Lipschitz-stetige Funktion

Lipschitzstetigkeit => Gleichmäßige Stetigkeit

Letzter Kommentar: vor 20 Jahren1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

Da für lipschitzstetige Funktion f stets gilt ${\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|}}<L$ ist f glm. Stetig wegen $|f(x)-f(y)|<|x-y|L<\delta L$ Für $\epsilon >0$ wähle $\delta ={\frac {\epsilon }{L}}$ Und schon gilt die glm. Stetigkeit ;-) (nicht signierter Beitrag von Prometeus (Diskussion | Beiträge) seth 23:06, 3. Jan 2006 (CET))

richtig. ich hab das mit dem

\delta

auch noch im artikel ergaenzt. (@Prometeus: vergiss deine signatur nicht in den diskussionen ;-))

in diesem zusammenhang faellt mir wieder ein, dass etwaige zusammenhaenge zwischen lokaler lipschitzstetigkeit und der glm. stetigkeit erlaeutert werden sollten. waer toll, wenn da noch jemand was huebsches zu weiss.--seth 17:58, 7. Mai 2005 (CEST)Beantworten

offenheit

Beispiel

Im Beispiel steht die Aussage, dass die Wurzelfunktion nicht Lipschitz-stetig an 0 sei. In der Definition wird dagegen der Befriff der Lipschitz-Steigkeit nur für eine offene Menge U festgelegt. (nicht signierter Beitrag von 80.184.165.213 (Diskussion) seth 23:05, 3. Jan 2006 (CET))

definition: ohne offen

in der definition kann man m.e. das offen auch weglassen(nicht signierter Beitrag von 84.114.163.130 (Diskussion) seth 14:18, 29. Apr 2006 (CEST))

die angesprochenen probleme sind durch die juengsten aenderungen von Benutzer:TN beseitigt worden. -- seth 14:41, 29. Apr 2006 (CEST)

alpha-Hölderstetigkeit

Letzter Kommentar: vor 17 Jahren2 Kommentare2 Personen sind an der Diskussion beteiligt

gehört nicht der Vollständigkeit halber dazu, dass die Lipschitz-Stetigkeit ein Spezialfall von der alpha-Hölderstetigkeit (für alpha=1) ist? Für sinnvoller halte ich, die Lipschitzstetigkeit über die alpha-Hölderstetigkeit zu definieren. Der Artikel fehlt jedoch vollständig. (nicht signierter Beitrag von 82.83.244.105 (Diskussion) seth 23:04, 3. Jan 2006 (CET))

Hat das schon mal jemand gehört? --Xario 15:14, 14. Aug. 2007 (CEST)Beantworten

was meinst du, Xario? -- seth 18:18, 14. Aug. 2007 (CEST)Beantworten

Beschränktheit und Differenzierbarkeit =/=> Lipschitz-Stetigkeit

$f:(0,1)\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x)={\sqrt {x}}$ ist beschränkt und differenzierbar, jedoch nicht Lipschitz-stetig. Deshalb habe ich die entsprechende Bemerkung aus dem Artikel herausgenommen.

Kein Problem das war damals entstanden, um auch "der Großmutter" mit ein paar Worten eine Vorstellung davon zu geben, was LS bedeutet. Es sollte nur eben auch eine Umschreibung ohne Formeln im Artikel bleiben und da ist eine korrekte Darstellung natürlich besser als eine "Schöne" ;) --mirer 14:17, 29. Apr 2006 (CEST)

Anders sieht die Sache schon aus, wenn $f$ auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist und dort stetig differenzierbar ist. (Das bedeutet z.B., dass sich $f$ stetig differenzierbar auf ein größeres offenes Intervall fortsetzen lässt.)

Dann nimmt der Betrag der Ableitung von $f$ auf dem Definitionsbereich von $f$ sein Maximum an. Dieses Maximum kann man dann als Lipschitz-Konstante nutzen (leicht über den Zwischenwertsatz der Differentialrechnung nachzuweisen). (nicht signierter Beitrag von TN (Diskussion | Beiträge) seth 14:17, 29. Apr 2006 (CEST))

urspruenglich stand das sogar ohne "beschraenkt" da. ich fuegte es - wohl in einem zustand maessiger geistiger umnachtung - hinzu und meinte wahrscheinlich die beschraenktheit der ableitung. aber andererseits ist das soo trivial, dass es wirklich nicht explizit erwaehnt werden muss. und der "oma" wuerde es auch nichts bringen. ;-) war gut, dass du's geloescht hast. -- seth 14:48, 29. Apr 2006 (CEST)

definition mit metrischen raeumen

Letzter Kommentar: vor 19 Jahren1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

gudn tach! mittlerweile haben wir ja eine recht allgemeine definition der L-stetigkeit. aber es ginge ja eigentlich noch etwas allgemeiner, wenn man z.b. nicht von normierten, sondern allen metrischen raeumen spricht. allerdings waere diese definition wieder zu abstrakt fuer eine allgemeine enzyklopaedie. wie waere es also, wenn wir - stetigkeit als vorbild nehmend - erst eine spezielle definition und erst danach eine allgemeinere, z.b. die mit metrischen raeumen, geben? -- seth 15:32, 29. Apr 2006 (CEST)

Vorschlag:

Eine Funktion $f:G\subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ genügt in einer Menge $M\subseteq G$ der Lipschitz-Bedingung, wenn es eine (nichtnegative) reelle Zahl $L$ gibt, mit der für alle $x_{1},x_{2}\in M$ die Ungleichung

|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|

erfüllt ist.

Definition für metrische Räume Seien $D$ und $W$ metrische Räume mit den Metriken $d_{D}$ bzw. $d_{W}$ .

Eine Abbildung $f:D\rightarrow W$ genügt in einer Menge $M\subseteq D$ der Lipschitzbedingung, wenn es eine (nichtnegative) reelle Zahl $L$ gibt, mit der für alle $x_{1},x_{2}\in M$ die Ungleichung

d_{W}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d_{D}(x_{1},x_{2})

erfüllt ist.

Müsste noch richtig einsortiert werden und die Definition der gleichmäßigen Lipschitz-Stetigkeit müsste noch angepasst werden. Mit freundlichen Grüßen, --TN 22:36, 1. Mai 2006 (CEST)Beantworten

supremum-infimum bedingung

aus dem artikel hierher verschoben: --seth 10:39, 2. Jun 2006 (CEST)

Eine äquivalente Definition zur Lipschitz-Stetigkeit ist die Überprüfung einer stetigen Funktion auf das Vorhandensein von Supremum und Infimum. Besitzt eine Funktion also Supremum und Infimum und ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig, so ist sie auch Lipschitz-stetig. Da man die oben stehende Definition auch wie folgt umschreiben kann:

$\forall x_{1},x_{2}\in M:\left\|f(x_{1})-f(x_{2})\right\|_{W}/\left\|x_{1}-x_{2}\right\|_{V}\leq L$ und Stetigkeit vorausgesetzt wird, hat man die Lipschitzdefinition auf die Form des Differenzenquotienten gebracht, und da dieser nur endliche Werte annehmen darf, folgt daraus, dass man Lipschitz-Stetigkeit über die Existenz von Supremum und Infimum einer stetigen Funktion nachweisen kann.

entweder ich habe die definition nicht genau verstanden, oder sie ist ungenau formuliert.

wenn die funktion selbst supremum und infimum hat, ist sie noch lange nicht lipschitz-stetig. x->sin(x^2) wäre da ein gegenbeispiel. oder muss die ableitung beschränkt sein? (vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 84.161.213.5 (Diskussion • Beiträge) -- seth 10:18, 2. Jun 2006 (CEST))

ich habe es mal hierher ausgelagert, mir gefaellt das naemlich schon auf grund der formulierung ebenfalls nicht. ist es rettungswuerdig oder soll es geloescht bleiben? -- seth 10:39, 2. Jun 2006 (CEST)

Wie wäre es mit stetig diff'bar mit beschränkter Ableitung? -- TN 20:44, 2. Jun 2006 (CEST)

$f(x_{2})-f(x_{1})=\int _{0}^{1}f'(tx_{2}+(1-t)x_{1})\cdot (x_{2}-x_{1}){\rm {d}}t{\mbox{ und so weiter. }}$

dass s.db. funktionen, deren ableitung beschraenkt ist, L-stetig sind, koennte man noch bei den eigenschaften in einem satz erwaehnen. eine formel ist imho dafuer aber nicht noetig. -- seth 18:31, 3. Jun 2006 (CEST)