Hankel-Funktion

Die Hankel-Funktionen (nach Hermann Hankel) stellen neben den sphärischen Bessel-Funktionen $j_{l}(z)=(-z)^{l}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{d\ z}}\right)^{l}\ {\frac {\sin z}{z}}$ und den sphärischen Neumann-Funktionen $n_{l}(z)=(-z)^{l}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{d\ z}}\right)^{l}\ {\frac {\cos z}{z}}$ ein weiteres Fundamentalsystem zur Lösung der Besselschen Differentialgleichung dar.

Abhängig vom Index l lauten die Hankel-Funktionen $h_{l}^{(\pm )}(z)=j_{l}(z)\pm in_{l}(z)=\mp i(-z)^{l}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{d\ z}}\right)^{l}{\frac {e^{\pm iz}}{z}}$. Sie werden für die Lösung einiger Probleme der theoretischen Physik benötigt, wie etwa die des Kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der Quantenmechanik. Ihre besondere Bedeutung besteht in diesem Falle im exponentiellen Abfall für große (in der QM in der Regel imaginäre) z.

Literatur

Notation übernommen aus Nolting 5/2, 6. Auflage