Graphentheorie

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Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften von Graphen und ihre Beziehungen zueinander untersucht.

Dadurch, dass einerseits viele algorithmische Probleme auf Graphen zurückgeführt werden können und andererseits die Lösung graphentheoretischer Probleme oft auf Algorithmen basiert, ist die Graphentheorie auch in der Informatik, insbesondere der Komplexitätstheorie von großer Bedeutung.

Auf den ersten Blick scheint die Graphentheorie eher eine abstrakte und realitätsferne Disziplin der Mathematik zu sein. Tatsächlich lassen sich aber sehr viele Alltagsprobleme mit Hilfe von Graphen modellieren.

Betrachteter Gegenstand

In der Graphentheorie ist ein Graph eine Menge von Punkten (man nennt diese dann Knoten oder auch Ecken), die eventuell durch Linien (sog. Kanten bzw. Bögen) miteinander verbunden sind. Die Form der Punkte und Linien spielt in der Graphentheorie keine Rolle.

Man unterscheidet dabei zwischen:

• endlichen Graphen, bei denen die Menge der Knoten und Kanten endlich ist und unendlichen Graphen, auf die dies nicht zutrifft sowie
• gerichteten Graphen, bei denen die Kanten gerichtet sein können (dargestellt durch Pfeile statt Linien) und ungerichteten Graphen.

Kompliziertere Graphentypen sind:

• Multigraphen, bei denen im Gegensatz zu einfachen Graphen Kanten zwischen den Knoten mehrfach vorkommen dürfen und
• Hypergraphen, bei denen im Gegensatz zu einfachen Graphen Kanten mehr als nur zwei Knoten verbinden können.

Je nach Problemstellung können Knoten und Kanten auch mit Farben (formal mit natürlichen Zahlen) oder Gewichten (d.h. mit beliebigen Zahlen) versehen werden. Man spricht dann von knoten- bzw. kantengefärbten oder -gewichteten Graphen.

Exakte Definitionen der verschiedenen Graphentypen findet man im Artikel Graph (Graphentheorie).

Grundlegende Begriffe und Probleme

Die Graphentheorie definiert eine Vielzahl von grundlegenden Begriffen, deren Kenntnis zum Verständnis von wissenschaftlichen Abhandlungen unbedingt von Nöten ist. Glücklicherweise sind die Begriffe in der Mehrheit sehr intuitiv bezeichnet, so dass man diese schnell erlernen kann und nur gelegtlich die genaue Definition nachschlagen muss. Vor der Lektüre graphentheoretischer Artikel empfiehlt sich daher insbesondere das Lesen der folgenden Artikel:

• Graph (Graphentheorie)
• Nachbarschaft und Grad in Graphen
• Wege, Pfade, Zyklen und Kreise in Graphen
• Wälder und Bäume in der Graphentheorie

Weitere grundlegende Begriffe findet man in:

• Repräsentation von Graphen im Computer
• Isomorphie von Graphen
• Operationen auf Graphen
• Teilgraphen und Minoren

Graphen können verschiedene Eigenschaften haben. So kann ein Graph zusammenhängend, bipartit, planar, eulersch oder hamiltonisch sein. Es kann nach der Existenz spezieller Teilgraphen gefragt werden oder bestimmte Parameter untersucht werden, wie zum Beispiel Knotenzahl, Kantenzahl, Minimalgrad, Maximalgrad, Taillenweite, Durchmesser, Knotenzusammenhangszahl, Kantenzusammenhangszahl, chromatische Zahl, Stabilitätszahl oder Cliquenzahl.

Die verschiedenen Eigenschaften können zueinander in Beziehung stehen. Die Beziehungen zu untersuchen ist eine Aufgabe der Graphentheorie. Beispielsweise ist die Knotenzusammenhangszahl immer kleiner als die Kantenzusammenhangszahl, welche wiederum immer kleiner als der Minimalgrad des betrachteten Graphen ist. In ebenen Graphen ist die Färbungszahl immer kleiner als 5. Diese Aussage ist auch als der 4-Farben-Satz bekannt.

Einige der aufgezählten Grapheneigenschaften sind relativ leicht algorithmisch bestimmbar, d.h. die entsprechenden Algorithmen benötigen in Abhängigkeit der Größe der Graphen nur wenig Zeit, um die Grapheneigenschaft zu berechnen. Andere Eigenschaften sind praktisch auch mit Computer unlösbar.

Die wichtigsten Probleme und Ergebnisse der Graphentheorie werden in folgenden Artikeln dargestellt:

• Paarungen in Graphen
• Zusammenhang von Graphen
• Flüsse und Schnitte in Netzwerken
• Topologische Graphentheorie
• Färbung von Graphen
• Durchlaufbarkeit von Graphen
• Cliquen und stabile Mengen

Geschichte

Die Anfänge der Graphentheorie gehen bis in das Jahr 1736 zurück. Damals publizierte Leonhard Euler eine Lösung für das Königsberger Brückenproblem. Die Frage war, ob es einen Rundgang durch die Stadt Königsberg - heute Kaliningrad - gibt, der jede der sieben Brücken über den Fluss Pregel genau einmal benutzt. Euler konnte für dieses Problem eine notwendige Bedingung angeben, und so die Existenz eines solchen Rundganges verneinen. Eine hinreichende Bedingung, sowie einen effizienten Algorithmus, der in einem Graphen einen solchen Rundgang finden kann, wurde erst 1873 von Hierholzer angegeben.

Anwendungen

Wie oben erläutert können mit Hilfe von Graphen viele Probleme modelliert werden. So läßt sich die Aufgabe eine kürzeste Route zwischen zwei Orten zu finden dadurch lösen, in dem man das Straßennetz geeignet als kantengewichteten Graphen modelliert und in diesem mit Hilfe des Algorithmus von Dijkstra effizient einen kürzesten Weg berechnet.

Bekannt ist auch das Problem die Länder einer Landkarte mit möglichst wenig Farben so zu färben, dass aneinander angrenzende Länder nicht die selbe Farbe erhalten. Hier wird die Landkarte ebenfalls in einen Graphen übersetzt und dann versucht mit einem Algorithmus dieses Problem zu lösen. Allerdings weiß man heute, dass dieses Problem auch mit Computern kaum zu lösen ist und es wird vermutet, dass keine effizienten Algorithmen existieren, die dieses Problem exakt lösen.

Weitere Anwendungsfälle findet man in den speziellen graphentheoretischen Artikeln.

Links

• Einen Überblick über die in der Wikipedia verfügbaren graphentheoretischen Artikel liefert die Liste graphentheoretischer Artikel.

Weblinks

• Graph Theory Resources, eine Datenbank von Personen und Themen aus der graphentheoretischen Forschung