Kartesisches Produkt

In der Mathematik bezeichnet man als kartesisches Produkt (nach René Descartes) zweier Mengen A und B die Menge aller geordneten Paare (a,b), wobei a aus A und b aus B ist. (Kombination: „Jedes mit jedem“) Geschrieben wird es als A×B, gelesen als A kreuz B:

$A\times B:=\left\{(a,b)|a\in A,b\in B\right\}$.

Eine Verallgemeinerung ist das kartesische Produkt von n Mengen A₁, ..., A_n, es besteht aus allen n-Tupeln (a₁, ..., a_n) mit a_i aus A_i, man schreibt es als A₁ × ... × A_n, oder als

$\prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\times ...\times A_{n}:=\left\{(a_{1},...,a_{n})|a_{i}\in A_{i}\quad i=1,...,n\right\}$

Ist eine der Mengen $A_{i}$ leer, dann ist auch das kartesische Produkt die leere Menge.

Das n-fache kartesische Produkt, bei dem alle A_i gleich A sind, schreibt man auch als Aⁿ.

$A^{n}:=\prod _{i=1}^{n}A$

Beispiele

Sei A={a, b, c} und B={x,y}. Dann ist: A × B = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)}.

Sei A={0,1}, dann ist A³ = A × A × A = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}.

Der dreidimensionale Vektorraum R³ besteht aus dem dreifachen kartesischen Produkt von R. Die 3-Tupel nennt man auch kartesische Koordinaten.

November/Dezember 2004

W Mo Di Mi Do Fr Sa So 45 1 2 3 4 5 6 7 46 8 9 10 11 12 13 14 47 15 16 17 18 19 20 21 48 22 23 24 25 26 27 28 49 29 30 1 2 3 4 5

Ein sehr elementares nichtmathematisches Beispiel ist unser Kalender, in dem die Wochentage waagerecht nebeneinander angeordnet sind und die Wochen untereinander. Jeder einzelne Tag ist durch die Angabe seiner Kalenderwoche und des Wochentages bestimmt: Alle untereinander in einer Spalte stehenden Tage haben denselben Wochentag, alle nebeneinander in einer Zeile stehenden Tage liegen in derselben Kalenderwoche.

So ist durch die Angabe (47. Kalenderwoche 2004, Montag) der 15. November 2004 bestimmt; der 1. Dezember 2004 hat die Koordinaten (49. Kalenderwoche 2004, Mittwoch).

Eigenschaften

Anzahl der Elemente

Sind $A_{1},\ldots ,A_{n}$ endlich viele Mengen, die alle endlich sind, dann ist auch ihr kartesisches Produkt eine endliche Menge, und die Anzahl seiner Elemente ist gleich dem Produkt der Elementanzahlen der $A_{i}$:

$|A_{1}\times \ldots \times A_{n}|=|A_{1}|\cdot \ldots \cdot |A_{n}|$

Assoziativgesetz

Das kartesische Produkt ist nicht assoziativ;

$A_{1}\times \left(A_{2}\times A_{3}\right)$

enthält Paare, deren erstes Element aus $A_{1}$ und deren zweites Element ein Paar aus $A_{2}\times A_{3}$ ist;

$\left(A_{1}\times A_{2}\right)\times A_{3}$

enthält hingegen Paare, deren erstes Element ein Paar aus $A_{1}\times A_{2}$ und deren zweites Element aus $A_{3}$ ist. Da es aber eine kanonische Bijektion zwischen diesen Mengen gibt, kann der Unterschied zwischen $A_{1}\times \left(A_{2}\times A_{3}\right)$ und $\left(A_{1}\times A_{2}\right)\times A_{3}$ in vielen Fällen vernachlässigt werden, da er lediglich einer Notationsänderung entspricht.

Kommutativgesetz

Das kartesische Produkt ist auch nicht kommutativ; bei $A_{1}\times A_{2}$ ist das erste Element aus $A_{1}$ und das zweite aus $A_{2}$; bei $A_{2}\times A_{1}$ hingegen ist das zweite Element aus $A_{1}$ und das erste aus $A_{2}$. Auch hier gibt es eine kanonische Bijektion zwischen $A_{1}\times A_{2}$ und $A_{2}\times A_{1}$.

Distributivgesetze

Es gelten folgende Distributivgesetze:

$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\times B=\left(A_{1}\times B\right)\cup \left(A_{2}\times B\right)$

$B\times \left(A_{1}\cup A_{2}\right)=\left(B\times A_{1}\right)\cup \left(B\times A_{2}\right)$

$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\times B=\left(A_{1}\times B\right)\cap \left(A_{2}\times B\right)$

$B\times \left(A_{1}\cap A_{2}\right)=\left(B\times A_{1}\right)\cap \left(B\times A_{2}\right)$

Sonstige Rechenregeln

Es gilt zwar

$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\times \left(B_{1}\cap B_{2}\right)=\left(A_{1}\times B_{1}\right)\cap \left(A_{2}\times B_{2}\right)$,

aber es kann durchaus sein, dass

$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\times \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\neq \left(A_{1}\times B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\times B_{2}\right)$,

wie z. B. am Beispiel

$A_{1}=\emptyset ,A_{2}=\lbrace a\rbrace ,B_{1}=\lbrace b\rbrace ,B_{2}=\emptyset$

ersichtlich:

$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\times \left(B_{1}\cup B_{2}\right)=\lbrace \left(a,b\right)\rbrace$

aber

$\left(A_{1}\times B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\times B_{2}\right)=\emptyset$.

Unendliches kartesisches Produkt

Die obige Definition eines kartesischen Produkts von endlich vielen Mengen ist für viele Zwecke ausreichend. Es ist jedoch möglich, das kartesische Produkt beliebig vieler (z. B. überabzählbar vieler) Mengen zu definieren.

Ist $\Lambda$ eine Menge (eine so genannte Indexmenge) und $\{A_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ ein System von Mengen (eine so genannte Mengenfamilie), dann definiert man das kartesische Produkt der Mengen $A_{\lambda }$ so:

$\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }={\Big \{}f\colon \Lambda \to \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\ {\Big |}\ \forall \lambda \in \Lambda \colon f(\lambda )\in A_{\lambda }{\Big \}}$

Dies ist die Menge aller Abbildungen von $\Lambda$ in die Vereinigung der $A_{\lambda }$, für die das Bild von $\lambda$ in $A_{\lambda }$ liegt. Für endliche Indexmengen $\Lambda =\{1,2,\ldots ,n\}$ lässt sich diese Menge bijektiv auf das oben definierte Produkt abbilden, denn jedes n-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ definiert eine Funktion f mit $f(1):=a_{1},\ldots ,f(n):=a_{n}$ und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Tupel $(f(1),\ldots ,f(n))$ schreiben.

Sind alle $A_{\lambda }$ gleich einer Menge A, dann ist das kartesische Produkt

$A^{\Lambda }\,=\,\prod _{\lambda \in \Lambda }A$ die Menge aller Funktionen von $\Lambda$ nach $A$.

Ein besonders wichtiger und bekannter Fall ist die Indexmenge $\Lambda =\mathbb {N}$ (die Menge der natürlichen Zahlen). In diesem Fall erhält man als kartesisches Produkt die Menge aller Folgen, deren i-tes Glied in der Menge $A_{i}$ liegt. Sind z. B. alle $A_{i}=\mathbb {R}$ (die Menge der reellen Zahlen), dann ist

$\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots$ die Menge aller reellen Zahlenfolgen.

Für andere unendliche Indexmengen als N und unterschiedliche Mengen $A_{\lambda }$ ist das kartesische Produkt weit weniger anschaulich: Bereits die Frage, ob ein beliebiges kartesisches Produkt nichtleerer Mengen nichtleer ist, ist mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF nicht entscheidbar; die Behauptung, dass es nichtleer ist, ist eine Formulierung des Auswahlaxioms, welches zu ZF hinzugefügt wird, um die Mengenlehre ZFC („Zermelo-Fraenkel + Choice“) zu erhalten.

Verwandte Begriffe

Ein direktes Produkt ist ein kartesisches Produkt algebraischer Strukturen wie z. B. Gruppen, das zusätzlich mit einer komponentenweisen Verknüpfung versehen ist.

Eine direkte Summe ist eine Teilmenge des direkten Produkts, die sich nur für Produkte unendlich vieler Mengen vom direkten Produkt unterscheidet: Es besteht aus allen Tupeln, die nur an endlich vielen Stellen von einem bestimmten Element (meist dem neutralen Element einer Verknüpfung) verschieden sind.

Der Artikel Produkt (Mathematik) enthält weitere Produkt-Begriffe.

Jede Relation ist eine Teilmenge eines kartesischen Produkts.