Determinantenfunktion

In der Linearen Algebra ist eine Determinantenfunktion eine spezielle Funktion, die einer Folge von n Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Dann heißt eine Funktion $f:V^{n}\rightarrow K$ Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• $f$ ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:

$\forall \,i\in \{1,...,n\},\;\forall \,a,b\in V:f(v_{1},...,v_{i-1},a+b,v_{i+1},...,v_{n})=f(v_{1},...,v_{i-1},a,v_{i+1},...,v_{n})+f(v_{1},...,v_{i-1},b,v_{i+1},...,v_{n})$ (Additivität)

$\forall \,i\in \{1,...,n\},\;\forall \,a\in V,\;\forall \,r\in K:f(v_{1},...,v_{i-1},r\cdot a,v_{i+1},...,v_{n})=r\cdot f(v_{1},...,v_{i-1},a,v_{i+1},...,v_{n})$ (Homogenität)

• $f$ ist alternierend:

$(\exists \,r,s\in \{1,...,n\}:v_{r}=v_{s})\Rightarrow f(v_{1},v_{2},...,v_{n})=0$

Eigenschaften

• Eine Determinatenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation $\sigma$: $f\left(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )\cdot f\left(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\right)$, wobei $\mathrm {sgn}$ das Signum der Permutation bezeichnet.

• Sind $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V$ linear abhängig, so gilt $f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=0$. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d.h. $f\not \equiv 0$) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

• Sind $f,g:V^{n}\rightarrow K$ zwei Determinantenfunktion und $f\not \equiv 0$, dann gibt es ein $a\in K$ so, dass $g(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=a\cdot f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\;\forall \,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V$. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstante gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

• Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinatenfunktion.
• $V=\mathbb {R} ^{n}$, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
• Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

• H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3

Weblink

• Definition