Lorentz-Transformation

Die Lorentztransformation, nach ihrem Entdecker Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) benannt, ist die grundlegende Gleichung der speziellen Relativitätstheorie (SR). Mit der Loretztransformation (LT) werden Koordinaten zwischen gegeneinander bewegten Systemen umgerechnet (transformiert). Kerngröße der Lorentztransformation ist die Lichtgeschwindigkeit, und eine wesentliche Eigenschaft der LT ist, dass nur Transformationen erlaubt sind, die zwischen Systemen stattfinden, deren Relativgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreitet. Da diese letzte Eigenschaft genau diejenige ist, welche der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt, kann man auch sagen, dass die LT die mathematischen Regeln der SR bestimmt.

Entstehung der Gleichungen

Lorentz formulierte die Transformationsgleichungen, bevor die SR bekannt war.

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, und die Maxwellgleichungen sind (obwohl das zur Zeit ihrer Aufstellung unbekannt war), nur als Gleichungen einer Welt sinnvoll, in der (lokal) die spezielle Relativitätstheorie gilt. Als die Maxwellgleichungen formuliert wurden, kannte man allerdings nur den absoluten Raum und die absolute Zeit der klassischen Mechanik, in der die Galileitransformation für Koordinatentransformationen anzuwenden ist. Unter der Galileitransformation lassen sich die Maxwellgleichungen jedoch nicht transformieren.

Es war der Erfolg Hendrik Lorentzs, die 1900 nach ihm benannte Lorentztransformation als die Transformationsgleichung zu erkennen, die die Gleichungen der Elektrodynamik erhalten. Zu diesem Zeitpunkt war Ätherhypothese Grundlage elektromagnetischer Phänomene. Es war allerdings unbekannt, woraus dieser Äther bestehen sollte. Verschiedene Experimente deuteten auf eine Mitführung des Äthers z. B. durch die Erde hin, andere wiederum nicht. Lorentz erkannte, dass sich verschiedene Phänomene erklären lassen, wenn man für elektromagnetische Erscheinungen eine Verkleinerung des Längenabstandes in Bewegungsrichtung des Bezugssystems und eine etwas vergrößerte Zeit, die er Ortszeit nannte, annimmt. Ihm gelang die Formulierung einer geschlossenen mathematischen Theorie. Er hielt aber an der Vorstellung des Äthers, der in einem ausgezeichneten Koordinatensystem ruhen sollte (und dieses Bezugssystem auszeichnet) fest.

Mit Albert Einsteins Formulierung der speziellen Relativitätstheorie wurde die klassische Mechanik und die Ätherhypothese abgelöst. Er leitete die Gleichungen aus dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c in jedem Bezugssystem und des Nichtvorhandenseins eines ausgezeichneten Bezugssystems ab und wendete sie auch auf Phänomene aus der Mechanik an. Die Lorentztransformation ersetzte die alte Galileitransformation. Die Galileitransformation wiederum bleibt im Falle kleiner Geschwindigkeiten (in sehr guter Näherung) gültig.

(Un)anschauliche Folgerungen

Eine Folge der Gesetze der speziellen Relativitätstheorie ist die Beobachtung, dass "bewegte Uhren langsamer gehen" und "bewegte Maßstäbe verkürzt erscheinen". Diese Beobachten ergeben sich mathematisch aus der Lorentztransformation.

Populär bekannte und der Intuition widersprechende Folgerungen aus der Lorentztransformation sind die Zeitdilation, mit dem daraus folgenden Zwillingsparadoxon.

Daneben ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit dem Alltagsleben fremd: Wenn von der Erde ein Lichtstrahl ausgesandt wird, so nimmt beispielsweise ein Raumschiff, das sich auf die Erde mit 50% der Lichtgeschwindigkeit zubewegt, die Geschwindigkeit nicht, wie man naiv erwarten würde, als 150% der Lichtgeschwindigkeit wahr. Unabhängig von der relativen Geschwindigkeit der Lichtquelle und des Empfängers ist die gemessene Geschwindigkeit immer gleich.

Gegen Ende des 19.ten Jahrhunderts wurden viele Experimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit angestellt. Diese Experimente ergaben die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Bewegungszustand der Erde, des Beobachters usw. Die Galileitransformation konnte also für Licht nicht richtig sein. Hilfsannahmen wie die Mitführung des Äthers als Medium für die Ausbreitung von Licht konnten nicht alle Phänomene erklären. Diese Beobachtung stellte Albert Einsteins Ausgangspunkt dar, von dem aus er die spezielle Relativitätstheorie entwarf.

Mathematische Formulierung

Die Lorentztransformationen bilden eine mathematische Gruppe, deren Elemente ein Koordinatensystem in ein anderes transformieren. Diese Koordinatensysteme werden in der Regel als Intertialsysteme bezeichnet. Die eine Zeit- und drei Raumkoordinaten ($t$ und $x,y,z$), die ein sogenanntes Ereignis in unserer Welt beschreiben, werden auch als Vierervektor bezeichnet und sind Elemente eines Minkowskiraumes.

Die Sprache der Lorentztransformation ist folgendermaßen: Das Ausgangskoordinatensystem wird als $S$, der Vierervektor darin als $(x,y,z,t)$ bezeichnet; das transformierte System, $S'$ hat dann die Koordinaten $(x',y',z',t')$. Von eigentlichem Interesse sind Transformationen zwischen zwei Systemen $S$ und $S'$, die sich relativ zueinander bewegen. (Transformationen zwischen Systemen, die zueinander unbewegt sind, wie etwa zueinander gedreht, lassen sich nach den einfacheren Regeln der Galileitransformation berechnen. Wenn man die Lotentztransformation um Verschiebungen erweitert, erhält man die Poincaregruppe, welche die Geometrie der Minkowskiraumes definiert.)

Wenn die relative Bewegung der Koordinatensysteme entlang der $x$-Achse mit der Geschwindigkeit $u$ erfolgt, und der Ursprung $(0,0,0,0)$ beider Koordinatensysteme übereinstimmt, dann nimmt die Lorentztransformation folgende Gestalt an:

$x'=\gamma (x-ut)$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=\gamma \left(t-{\frac {ux}{c^{2}}}\right)$

wobei

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$

und $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

(Anmerkung: Beliebige Lorentztransformationen werden erreicht, indem zuerst die Ursprünge der Koordinatensysteme mittels eine Translation aufeinander verschoben werden, und dann mittels einer Rotation die $x$-Achsen übereinandergelegt werden. Diese allgemeinen Transformationen sind Poincaretransformationen.)

(Anmerkung: Es gibt verschiedene mathematische Schreibweisen, um die Lorentztransformation auszudrücken. Teilweise ist die Zeitkoordinate die erste Koordinate des Vierervektors; teilweise wird in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gerechnet, d. h. $c$ wird gleich $1$ gesetzt, und die Reschwindigkeit $u$ ist dann eine Zahl zwischen $0$ und $1$; teilweise wird die Zeitkoordinate im Minkowskiraum als imaginäre Zahl behandelt.)

Ganz allgemein kann man jede Lorentztransformation als eine Abbildung $\Lambda$ definieren, die einen Vierervektor $V$ transformiert:

$V\rightarrow \Lambda X$

derart, dass

$\Lambda ^{T}g\Lambda =g$

ist. Hier bezeichnet $T$ die orthogonale (oder in Matrix-Sprechweise transponierte) Abbildung. $g$ ist die Metrik des Minkowskiraumes, und stellt sich als $4\times 4$-Matrix als

$g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{bmatrix}}$

dar. Als $4\times 4$-Matrizen dargestellt, bilden die $\Lambda$-Abbildungen eine Repräsentation der $SO(3,1)$-Gruppe.

Lorentz Invarianz

Größen oder Gleichungen, die sich unter der Lorentztransformation nicht verändern, werden als Lorentzinvarienten bezeichnet.

Die einfachste lorentzinvariante Größe ist der Relativistische Abstand

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$,

der im transformierten System zu

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle ds'^2 = dx'^2 + dy'^2 + dz'^2 - c^2dt'^2 } ,

wird. Unter einer Lorentztransformation ist dieser Abstand erhalten, d. h.

$ds'^{2}=ds^{2}$.

Die Maxwellgleichungen und ihre Lösungen stellen ebenfalls eine Lorentzinvariante dar. Die Gleichungen behalten in allen Inertialsystemen die gleiche Form.

Die berühmte Gleichung

$E=m\,c^{2}$,

ist ebenfalls eine Konsequenz aus der Gültigkeit der Lorentztransformation.