Satz von Berry-Esseen

Der Satz von Berry-Esséen trifft Aussagen über die Güte der Konvergenz im Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei werden sowohl die Konvergenzgeschwindigkeit als auch eine numerische Abschätzung für die Annäherung an die Normalverteilung gegeben.

Satz von Berry-Esséen

Es sei $\{X_{n}\}$ eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$. Die Erwartungswerte $\mu =\mathrm {E} (X_{n})$ und die Varianzen $\sigma ^{2}=\mathrm {E} ((X_{n}-\mu )^{2})$ mögen existieren. Dann konvergieren nach dem Zentralen Grenzwertsatz die Verteilungsfunktionen

$F_{n}(x)=P\left({\frac {X_{1}+...+X_{N}-n\cdot \mu }{\sigma \cdot {\sqrt {n}}}}<x\right)$ für $x\in \mathbb {R}$

der standardisierten Summen gegen die Normalverteilung $\Phi _{0,1}$.

Wenn das dritte absolute Moment $\rho :=\mathrm {E} (|X_{n}-\mu |^{3})$ der Zufallsgrößen $X_{n}$ existiert, dann gilt für eine Konstante C

$\left|F_{n}(x)-\Phi _{0,1}(x)\right|\leq {\frac {C\cdot \rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}$ für $x\in \mathbb {R} .$

Bemerkungen

1. Man beachte, dass für die Gültigkeit des Satzes von Berry-Esséen außer den Voraussetzungen für den Zentralen Grenzwertsatz (Existenz von Erwartungswert und Varianz) zusätzlich die Existenz des dritten Moments gefordert wird. Deshalb liefert der Satz nicht für alle Fälle, in denen der Zentrale Grenzwertsatz gilt, eine Aussage über die Güte der Konvergenz gegen die Normalverteilung $\Phi _{0,1}$.

2. Der Satz von Berry-Esséen gibt als qualitative Aussage die Konvergenzgeschwindigkeit im Zentralen Grenzwertsatz mit der Größenordnung $1/{\sqrt {n}}$ an.

3. Der Satz liefert eine quantitativ Abschätzung der Annäherung an die Normalverteilung. Dabei ist hervorzuheben, dass die Konstante C eine "universelle Konstante" ist, d.h. sie hängt nicht von den Eigenschaften der Zufallsgrößen X_n ab.

Die Berry-Esséen-Konstante

Für die Konstante C hat sich in der Literatur der Name Berry-Esséen-Konstante (engl. Berry-Esséen bound) eingebürgert. Wichtig für die quantitative Abschätzung der Konvergenz ist natürlich der Wert von C. In der Originalarbeit von Carl-Gustav Esséen wird C mit 7,59 angegeben. Seitdem wurde sie durch zahlreiche Autoren immer weiter verbessert. Der beste heute bekannte Wert ist C = 0,7655, der 1985 von Shiganov angegeben wurde.

Literatur

• William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II. New York: John Wiley & Sons (1972). ISBN 0-471-25709-5.