Links- oder Rechts-Modul
berührt die Spezialgebiete
ist Spezialfall von
umfasst als Spezialfälle
Ring (Modul über sich selbst)kommutativer Modul
Ein Modul (maskulinum, auf der ersten Silbe betont; Plural: Moduln ) ist eine algebraische Struktur , die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums ist.
In diesem einfachsten Fall kann man direkt die Axiome eines Vektorraums abschreiben und überall „Körper “ durch „Ring “ ersetzen: Ein Modul über einem kommutativen Ring
(
R
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
abelsche Gruppe
(
M
,
+
)
{\displaystyle (M,+)}
R
×
M
→
M
,
(
r
,
m
)
↦
r
⋅
m
{\displaystyle R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m}
so dass gilt:
r
1
⋅
(
r
2
⋅
m
)
=
(
r
1
⋅
r
2
)
⋅
m
{\displaystyle r_{1}\cdot (r_{2}\cdot m)=(r_{1}\cdot r_{2})\cdot m}
(
r
1
+
r
2
)
⋅
m
=
r
1
⋅
m
+
r
2
⋅
m
{\displaystyle (r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m}
r
⋅
(
m
1
+
m
2
)
=
r
⋅
m
1
+
r
⋅
m
2
{\displaystyle r\cdot (m_{1}+m_{2})=r\cdot m_{1}+r\cdot m_{2}}
Fordert man zusätzlich noch
1
⋅
m
=
m
{\displaystyle 1\cdot m=m}
unitär .
Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra .
Beispiele
1. Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
1
⋅
m
=
m
{\displaystyle 1\cdot m=m}
ist
k
⋅
m
=
m
+
…
+
m
{\displaystyle k\cdot m=m+\ldots +m}
(
−
k
)
⋅
m
=
−
(
m
+
…
+
m
)
{\displaystyle (-k)\cdot m=-(m+\ldots +m)}
für natürliche Zahlen
k
{\displaystyle k}
2.
k
[
T
]
{\displaystyle k[T]}
k
{\displaystyle k}
(
V
,
A
)
{\displaystyle (V,A)}
k
{\displaystyle k}
V
{\displaystyle V}
Endomorphismus
A
{\displaystyle A}
V
{\displaystyle V}
Zu einem
k
[
T
]
{\displaystyle k[T]}
V
{\displaystyle V}
(
V
,
A
)
{\displaystyle (V,A)}
A
{\displaystyle A}
V
→
V
,
v
↦
T
⋅
v
.
{\displaystyle V\to V,\quad v\mapsto T\cdot v.}
gegeben ist. Zu einem Paar
(
V
,
A
)
{\displaystyle (V,A)}
k
[
T
]
{\displaystyle k[T]}
p
(
T
)
⋅
v
:=
p
(
A
)
v
=
a
0
v
+
a
1
⋅
A
v
+
a
2
⋅
A
2
v
+
…
+
a
n
⋅
A
n
v
{\displaystyle p(T)\cdot v:=p(A)v=a_{0}v+a_{1}\cdot Av+a_{2}\cdot A^{2}v+\ldots +a_{n}\cdot A^{n}v}
für
p
(
T
)
=
a
0
+
a
1
T
+
a
2
T
2
+
…
+
a
n
T
n
∈
k
[
T
]
.
{\displaystyle p(T)=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\ldots +a_{n}T^{n}\in k[T].}
3. Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation.
Es sei
R
{\displaystyle R}
Ring .
Ein
R
{\displaystyle R}
Linksmodul ist eine abelsche Gruppe
M
{\displaystyle M}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
R
×
M
→
M
,
(
r
,
m
)
↦
r
⋅
m
=
r
m
,
{\displaystyle R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m=rm,}
d.h.
(
r
1
+
r
2
)
m
=
r
1
m
+
r
2
m
{\displaystyle (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m}
r
(
m
1
+
m
2
)
=
r
m
1
+
r
m
2
,
{\displaystyle r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},}
so dass
r
1
(
r
2
m
)
=
(
r
1
r
2
)
m
{\displaystyle r_{1}(r_{2}m)=(r_{1}r_{2})m}
r
1
,
r
2
∈
R
,
m
∈
M
{\displaystyle r_{1},r_{2}\in R,m\in M}
gilt. Wird
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
unitärer Modul ist, d.h.
1
⋅
m
=
m
.
{\displaystyle 1\cdot m=m.}
Ein
R
{\displaystyle R}
Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe
M
{\displaystyle M}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
M
×
R
→
M
,
(
m
,
r
)
↦
m
⋅
r
=
m
r
,
{\displaystyle M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,}
so dass
(
m
r
1
)
r
2
=
m
(
r
1
r
2
)
{\displaystyle (mr_{1})r_{2}=m(r_{1}r_{2})}
r
1
,
r
2
∈
R
,
m
∈
M
.
{\displaystyle r_{1},r_{2}\in R,m\in M.}
Unitäre Rechtsmoduln sind analog zu unitären Linksmoduln definiert.
Ist
R
{\displaystyle R}
kommutativ , so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von
R
{\displaystyle R}
Moduln .
Alternative Definitionen
Ein
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
→
E
n
d
Z
M
.
{\displaystyle R\to \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M.}
Dabei ist
E
n
d
Z
M
{\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M}
Endomorphismen von
M
{\displaystyle M}
(
f
1
⋅
f
2
)
(
m
)
=
f
1
(
f
2
(
m
)
)
{\displaystyle (f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{1}(f_{2}(m))}
f
1
,
f
2
∈
E
n
d
Z
M
,
m
∈
M
.
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M,m\in M.}
Ein
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
→
(
E
n
d
Z
M
)
o
p
;
{\displaystyle R\to (\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} };}
Dabei sei
(
E
n
d
Z
M
)
o
p
{\displaystyle (\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} }}
M
{\displaystyle M}
(
f
1
⋅
f
2
)
(
m
)
=
f
2
(
f
1
(
m
)
)
{\displaystyle (f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{2}(f_{1}(m))}
f
1
,
f
2
∈
(
E
n
d
Z
M
)
o
p
,
m
∈
M
.
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in (\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} },m\in M.}
Bimoduln
Es seien
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
(
r
m
)
s
=
r
(
m
s
)
{\displaystyle (rm)s=r(ms)}
r
∈
R
,
s
∈
S
,
m
∈
M
{\displaystyle r\in R,s\in S,m\in M}
gilt.
Alternativ ist ein
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
M
{\displaystyle M}
R
×
S
o
p
→
E
n
d
Z
M
.
{\displaystyle R\times S^{\mathrm {op} }\to \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M.}
Ist
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
assoziative R -Algebra , so ist ein
A
{\displaystyle A}
Linksmodul ein
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
A
⊗
R
M
→
M
,
a
⊗
m
↦
a
m
,
{\displaystyle A\otimes _{R}M\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,}
so dass
a
1
(
a
2
m
)
=
(
a
1
a
2
)
m
{\displaystyle a_{1}(a_{2}m)=(a_{1}a_{2})m}
a
1
,
a
2
∈
A
,
m
∈
M
{\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,m\in M}
gilt.
Ein
A
{\displaystyle A}
Rechtsmodul ist ein
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
M
⊗
R
A
→
M
,
a
⊗
m
↦
a
m
,
{\displaystyle M\otimes _{R}A\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,}
so dass
(
m
a
1
)
a
2
=
m
(
a
1
a
2
)
{\displaystyle (ma_{1})a_{2}=m(a_{1}a_{2})}
a
1
,
a
2
∈
A
,
m
∈
M
{\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,m\in M}
gilt.
Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.
Es sei
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Liealgebra über einem Körper
k
{\displaystyle k}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Modul oder eine Darstellung von
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
g
×
M
→
M
,
(
X
,
m
)
↦
X
⋅
m
=
X
m
,
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M,\quad (X,m)\mapsto X\cdot m=Xm,}
so dass
[
X
,
Y
]
m
=
X
Y
m
−
Y
X
m
{\displaystyle [X,Y]m=XYm-YXm}
X
,
Y
∈
g
,
m
∈
M
{\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},m\in M}
gilt.
Alternativ ist ein
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
g
→
g
l
(
M
)
;
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M);}
dabei ist
g
l
(
M
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(M)}
k
{\displaystyle k}
Endomorphismen von
M
{\displaystyle M}
Kommutator als Lieklammer.
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
universellen einhüllenden Algebra von
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Es sei
(
G
,
⋅
)
{\displaystyle (G,\cdot )}
Gruppe . Ein
G
{\displaystyle G}
Linksmodul ist eine abelsche Gruppe
(
M
,
+
)
{\displaystyle (M,+)}
G
×
M
→
M
,
(
g
,
m
)
↦
g
m
:=
g
⋅
m
{\displaystyle G\times M\to M,(g,m)\mapsto gm:=g\cdot m}
so dass
g
(
m
1
+
m
2
)
=
g
m
1
+
g
m
2
{\displaystyle g(m_{1}+m_{2})=gm_{1}+gm_{2}}
g
∈
G
,
m
1
,
m
2
∈
M
{\displaystyle g\in G,m_{1},m_{2}\in M}
und
(
g
1
g
2
)
m
=
g
1
(
g
2
m
)
{\displaystyle (g_{1}g_{2})m=g_{1}(g_{2}m)}
g
1
,
g
2
∈
G
,
m
∈
M
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,m\in M}
gilt.
Ein
G
{\displaystyle G}
Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch
m
(
g
1
g
2
)
=
(
m
g
1
)
g
2
{\displaystyle m(g_{1}g_{2})=(mg_{1})g_{2}}
g
1
,
g
2
∈
G
,
m
∈
M
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,m\in M}
zu ersetzen.
Alternativ dazu ist ein
G
{\displaystyle G}
(
M
,
+
)
{\displaystyle (M,+)}
G
→
A
u
t
Z
M
;
{\displaystyle G\to \mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M;}
dabei ist
A
u
t
Z
M
=
(
E
n
d
Z
M
)
×
{\displaystyle \mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M=(\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\times }}
Automorphismen von
M
{\displaystyle M}
(
f
1
⋅
f
2
)
(
m
)
=
f
1
(
f
2
(
m
)
)
{\displaystyle (f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{1}(f_{2}(m))}
f
1
,
f
2
∈
A
u
t
Z
M
,
m
∈
M
.
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in \mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M,m\in M.}
Ein
G
{\displaystyle G}
(
M
,
+
)
{\displaystyle (M,+)}
G
→
(
A
u
t
Z
M
)
o
p
;
{\displaystyle G\to (\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} };}
das Produkt auf
(
A
u
t
Z
M
)
o
p
{\displaystyle (\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} }}
(
f
1
⋅
f
2
)
(
m
)
=
f
2
(
f
1
(
m
)
)
{\displaystyle (f_{1}\cdot f_{2})(m)=f_{2}(f_{1}(m))}
f
1
,
f
2
∈
(
A
u
t
Z
M
)
o
p
,
m
∈
M
{\displaystyle f_{1},f_{2}\in (\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }\,M)^{\mathrm {op} },m\in M}
gegeben.
Ist
R
{\displaystyle R}
G
{\displaystyle G}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
G
{\displaystyle G}
r
(
g
m
)
=
g
(
r
m
)
{\displaystyle r(gm)=g(rm)}
r
∈
R
,
g
∈
G
,
m
∈
M
.
{\displaystyle r\in R,g\in G,m\in M.}
Alternativ ist ein
G
{\displaystyle G}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
G
→
A
u
t
R
M
;
{\displaystyle G\to \mathrm {Aut} _{R}\,M;}
dabei ist AutR
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
R
{\displaystyle R}
G
{\displaystyle G}
R
{\displaystyle R}
Gruppenring
R
[
G
]
{\displaystyle R[G]}
Ist
k
{\displaystyle k}
Körper , so stimmt der Begriff des
G
{\displaystyle G}
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
Darstellung von
G
{\displaystyle G}
![{\displaystyle k[T]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/110eff8f4df39c29bf6962b5b93ce01b610e62ae)
![{\displaystyle p(T)=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\ldots +a_{n}T^{n}\in k[T].}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca113e49c902edde23fff1a38963f9572a24ddca)
![{\displaystyle [X,Y]m=XYm-YXm}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba15d15fc0b8abc8cf7afc7ace3bff40103f09a)
![{\displaystyle R[G]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfc4570ea0faa6453735827f1e877904ecf78fe)