Balkenwaage

Grundsätzlich

Eine Balkenwaage ist eine Wiegevorrichtung, die aus einem waagerechten Balken besteht, der beweglich an einer waagerechten Achse gelagert ist. An jedem Balkenende befindet sich eine Waagschale.

Die Genauigkeit einer Balkenwaage hängt einerseits von der Genauigkeit der verwendeten Gewichte und andererseits von den Konstruktionsparametern der Waage (Balkenlänge, Lage des Schwerpunktes) ab.

Konstruktion

Wenn man einen einfachen Balken als Waage verwenden würde, so hätte das folgende Auswirkungen:

• Im Falle des Gleichgewichts (beide Waagschalen sind mit den gleichem Gewicht befüllt) herrscht in jeder beliebigen Lage des Balkens ein Gleichgewichtszustand, da die beiden Drehmomente immer gleich sind (indifferentes Gleichgewicht).
• Im Falle von Ungleichgewicht wird der Balken solange gedreht, dass die schwerere Waagschale den tiefsten Punkt erreicht (stabiles Gleichgewicht).

Damit ist es prinzipiell möglich, einen Wiegevorgang auszuführen, aber die Waage ist so empfindlich, dass sie praktisch nicht verwendbar wäre. Daher verlegt man den Schwerpunkt des Waagebalkens so, dass er sich etwas unterhalb der Drehachse befindet. Das kann erfolgen, indem man den Balken mit einem zusätzlichen, senkrechten Zeiger versieht (der dann auch gleich zum Ablesen der Gewichtsdifferenz auf einer Skala verwendet werden kann) oder indem man den Waagbalken im Drehpunkt leicht knickt.

Durch die Auslenkung des Schwerpunktes im Fall von Ungleichgewicht entsteht ein zusätzliches Drehmoment, welches verhindert, dass die schwerere Schale den Balken in eine senkrechte Stellung drehen kann.

Die Empfindlichkeit der Balkenwaage ist abhängig von:

• der Länge des Waagebalkens: Je länger, desto empfindlicher.
• dem Drehmoment des Schwerpunkts: Je kleiner, das heißt, je leichter der Waageblaken und je näher der Schwerpunkt beim Drehpunkt ist, desto empfindlicher ist die Waage.

Wiegevorgang

Zum Wiegen wird der zu wiegende Gegenstand in eine der Schalen gelegt. Nun werden in beiden Schalen definierte Gewichte abgelegt. Es werden so lange Gewichte zugelegt oder entfernt, bis der Balken im Gleichgewicht ist.
Das Gewicht des zu wiegenden Gegenstandes wird durch Addition bzw. Subtraktion der verwendeten Gewichte ermittelt. Dabei werden die Gewichte in der anderen Schale des zu wiegenden Gegenstands addiert und davon die Gewichte in der gleichen Schale subtrahiert.

Um die Anzahl der benötigten Gewichte so gering wie möglich zu halten, verwendet man Gewichtstücke aus der folgenden tabelle.

Tabelle Meßgewichte

Anzahl der Gewichte:

Gewichte messbar bis:

Benötigte Gewichte [g]

Benötigte Gewichte [kg]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 g 4 g 13 g 40 g 121 g 364 g 1,093 kg 3,280 kg 9,841 kg 29,524 kg 88,573 kg 265,720 kg 797,161 kg 2,391 t 7,174 t 21,523 t 64,570 t 193,710 t 581,130 t 1743,392 t 5230,176 t 15690,529 t 47071,589 t 141214,768 t 423644,304 t

1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 1594323 4782969 14348907 43046721 129140163 387420489 1162261467 3486784401 10460353203 31381059609 94143178827 282429536481

0,001 0,003 0,009 0,027 0,081 0,243 0,729 2,187 6,561 19,683 59,049 177,147 531,441 1594,323 4782,969 14348,907 43046,721 129140,163 387420,489 1162261,467 3486784,401 10460353,203 31381059,609 94143178,827 282429536,481

Bsp.:
Um ein 1kg-Gewicht auf 1g genau abwiegen zu können braucht man fogende 7 Messgewichte: 1g; 3g; 9g; 27g; 81g; 243g; 729g

Theoretisch könnte man auf diese Art mit nur 25 Messgewichten Wiegevorgänge bis über 420 Tausend Tonnen auf 1g genau durchführen.

Entstehung der Tabelle

Die Überlegung ein Messgewicht zu erhalten ist folgende: Man nehme alle bisherigen Gewichte zusammen. Um nun auf das nächste Gramm zu gelangen könnte ich diese vorhandenen Gewichte von einem größeren Gewicht abziehen. Dieses nächstgrößere Gewicht muss um die Summe aller bisherigen Gewichte und ein zusätzliches Gramm schwerer sein.

Bei 1g beginnend folgt somit die Verdoppelung auf 2g plus ein zusätzliches Gramm --> ergibt 3g.
Das nächste Gewicht ist die Summe aller bisherigen Gewichte, also 1g + 3g = 4g, verdoppelt auf 8g plus eins macht 9g.
usw.

Mathematisch gesehen ergibt sich so der Summenausdruck für ein beliebiges Gewicht n an der Position k:

$n_{k}=1+2\sum _{i=1}^{k-1}n_{i}$

Beispiele Wiegevorgang

Beispiel 1:

Es soll ein Gewicht von 47g gemessen werden. Dazu werden auf die leere Waagschale die Gewichte zu 16g und 32g gelegt. Auf die andere Wagschale das unbekannte Gewicht und das Messgewicht zu 1g. Die Waage befindet sich nun im Gleichgewicht.

16g + 32g = 1g + Unbekanntes Gewicht

Daraus folgt:
Unbekanntes Gewicht = 16g + 32g - 1g

Beispiel 2:

Sie legen wie folgt Gewichte auf die Waage um sie ins Gleichgewicht zu bringen:

81g + 27g = 9g + 3g + Unbekanntes Gewicht

Daraus folgt:
Unbekanntes Gewicht = 81g + 27g - 9g - 3g
Unbekanntes Gewicht = 96g