Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von natürlichen und ganze Zahlen. Eine natürliche (ganze) Zahl a teilt eine Zahl b genau dann (a ist Teiler von b, b ist teilbar durch a), wenn es mindestens eine natürliche (ganze) Zahl n gibt, für die gilt: a·n = b. Formal schreibt man a | b.
Diesen Teilbarkeitsbegriff kann man auf Ringe erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der, ähnlich wie in ganzen Zahlen, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist (für eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:
Sind a, b ∈ R Ringelemente, dann ist a ein Teiler von, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a*n = b.
In Ringen teilt a genau dann b, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) das von (b) erzeugte umfasst, formal: (a) | (b) ⇔ (a) ⊃ (b).
Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (4) ⊃ (2), also ist 2 | 4.
In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielswiese in den reellen Zahlen, macht es keinen Sinn, Teilbarkeit zu definieren, da dort jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) durch jede andere Zahl teilbar ist.
siehe auch: