Teilbarkeit
Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von natürlichen und ganze Zahlen. Eine natürliche (ganze) Zahl a ist durch eine Zahl b genau dann teilbar (oder b teilt a, b ist Teiler von a), wenn es mindestens eine natürliche (ganze) Zahl n gibt, für die gilt: a = b·n. Formal schreibt man b | a.
Diesen Teilbarkeitsbegriff kann man auf Ringe erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der, ähnlich wie in ganzen Zahlen, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist (für eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:
Sind a, b ∈ R Ringelemente, dann heißt a durch b teilbar, falls ein weiteres Ringelement n ∈ R existiert mit a = b * n.
In Ringen ist a genau dann durch b teilbar, wenn das von a erzeugte Hauptideal (a) eine Teilmenge von (b) ist, formal: (b) | (a) ⇔ (b) ⊃ (a).
Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist die Menge aller Vielfachen von 2, (4) dementsprechend die Menge aller Vielfachen von 4. (4) ⊂ (2), also ist 2 | 4.
In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielswiese in den reellen Zahlen), macht es keinen Sinn, Teilbarkeit zu definieren, da dort jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) durch jede andere Zahl teilbar ist.
siehe auch: