Allgemeines lineares Modell

Das Lineare Modell ist eines der am häufigsten untersuchten Modelle in der Statistik. Viele statistische Verfahren wie Mittelwertsvergleiche und varianzanalytische Verfahren, Korrelations- und Regressionsrechnung kann man als Spezialfälle linearer Modelle ansehen.

Modellbeschreibung

Grundvoraussetzung für die Anwendung solcher Modelle in der statistischen Praxis ist die Annahme, dass ein linearer Zusammenhang zwischen den beobachteten Daten und den bekannten Einflussvariablen besteht. Die Methoden der Statistik (prominent ist vor allem die Methode der kleinsten Quadrate) liefern dann rein quantitative Resultate über den konkreten Zusammenhang zwischen Beobachtungen und Einflüssen.

Damit solche Modelle überhaupt statistisch beobachtet werden können, wird zusätzlich angenommen, dass die Daten nicht direkt beobachtet werden können, sondern mit Fehlern behaftet sind.

Formal lassen sich allgemeine lineare Modelle durch Matrixgleichungen der Form

${\vec {y}}=\mathbf {X} {\vec {\beta }}+{\vec {\varepsilon }}$

darstellen, dabei ist

${\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$

der Vektor der abhängigen Variablen,

$\mathbf {X} ={\begin{pmatrix}x_{11}&\dots &x_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\dots &x_{nk}\end{pmatrix}}$

die Matrix der unabhängigen Variablen, auch Designmatrix genannt,

${\vec {\beta }}={\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{k}\end{pmatrix}}$

der Vektor der Gewichte der mit X beschriebenen Variablen sowie

${\vec {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\vdots \\\varepsilon _{n}\end{pmatrix}}$

der Vektor der Fehler bzw. Residuen.

Voraussetzungen

Es wird in dem in der Anwendung häufigsten Fall vorausgesetzt, dass die Fehlerterme $\varepsilon$ multivariat normalverteilt sind, wobei zudem die stochastische Unabhängigkeit der einzelnen Komponenten $\varepsilon _{i}$ angenommen wird. Mit anderen Worten: $\varepsilon _{i}\sim N(0,\sigma _{i}^{2})$.

Im diesem Modell ist die Unabhängigkeit der Fehler dann gleichbedeutend mit der $y_{i}$.

Ziel

Mit Methoden der Regressionsanalyse lassen sich aus den Daten sinnvolle Schätzungen und Grenzwertsätze für ${\vec {\beta }}$ herleiten. Ob tatsächlich ein linearer Zusammenhang zwischen ${\vec {y}}$ und der Matrix X besteht, wird dabei nicht untersucht. Lineare Modelle lassen sich immer „hinschreiben“, nur: Ob sie für den konkreten Fall wirklich geeignet sind, muss vorher theoretisch geklärt werden.

Varianten

Lineare Modelle lassen sich dahingehend erweitern, dass keine feste Designmatrix untersucht wird, sondern auch diese zufallsbehaftet ist. Die Untersuchungsmethoden ändern sich in diesem Fall nicht substantiell, allerdings werden die Resultate deutlich komplizierter.

Sonstiges

Lineare statistische Modelle lassen sich bei entsprechender Umformung im Rahmen einer allgemein gültigen Regressionsgleichung darstellen. Entsprechend können aus der allgemeinen Form (neue) spezielle lineare Verfahren abgeleitet werden.

Literatur

• Andres, J.: Das allgemeine lineare Modell. In Edgar Erdfelder, Rainer Mausfeld, Thorsten Meiser & Georg Rudinger (Hrsg.), Handbuch quantitative Methoden, 1996 (S.185-200); Weinheim: Belz.
• Moosbrugger, H.: "Lineare Modelle: Regressions- und Varianzanalysen" (3. Auflage), 2002; Bern, Göttingen, Toronto, Seattle: Verlag Hans Huber
• Werner, J.: Lineare Statistik, 1997, Weinheim: Belz.

Weblinks

• Vorlesungsskript bei Universität Ulm