Benutzer:Marco.Bakera/Uni/Fuzzy

Aufgabe 2.1

Zu zeigen:

Kein Element aus $Cut_{c}({\overline {F}})$ liegt in $Cut_{1-c}'(F)$ und umgekehrt.

Da in $Cut_{c}({\overline {F}})$ nur Elemente x liegen können, für die gilt: 1-F(x)≥c; aber in $Cut_{1-c}'(F)$ nur Elemente liegen können, für die gilt: F(x)>1-c $\Rightarrow$1-F(x)<c, folgt die Behauptung.

Aufgabe 2.2

a)

$x\approx y=_{def}xRy\wedge yRx$ ist Äquivalenzrelation, da gilt:

1. $\approx$ ist reflexiv

zu zeigen: $x\approx x$

Da R reflexiv ist, folgt dies direkt aus der Anwendung der Definition von $\approx$

2. $\approx$ ist transitiv

zu zeigen: $x\approx y\wedge y\approx z\Rightarrow x\approx z$

Es gilt also:

$\left.{\begin{matrix}x\approx y\Rightarrow xRy\wedge yRx\Rightarrow xRy\\y\approx z\Rightarrow yRz\wedge zRy\Rightarrow yRz\end{matrix}}\right\}\Rightarrow xRz{\mbox{ , da R transitiv}}$

3. $\approx$ ist symmetrisch

zu zeigen:$x\approx y\Rightarrow y\approx x$

Es gilt: $x\approx y=_{def}xRy\wedge yRx=yRx\wedge xRy=y\approx x$

b)

$(M/\approx ,\leq )$ ist Halbordnung, denn es gilt:

1. ≤ ist reflexiv
2. ≤ ist transitiv
3. ≤ ist antisymmetrisch

Seien $J,K,L\in M/\approx$.

---

zu 1.
zu zeigen $K\leq K$

$K\leq K=_{def}\exists x\exists y:x\in K,y\in K,xRy$

Wähle nun x,y∈K. Da $K\in M/\approx$, gilt:

$x\approx y=xRy\wedge yRx$.

Also auch $\exists x\exists y:x\in K,y\in K,xRy$

---

zu 2.
zu zeigen: $J\leq K\wedge K\leq L\Rightarrow J\leq L$

Es gilt:

$J\leq K\Rightarrow \exists x\exists y:x\in J\wedge y\in K\wedge xRy$
$k\leq L\Rightarrow \exists x'\exists y':x'\in K\wedge y'\in L\wedge x'Ry'$

Da $x',y\in K\in M/\approx$:

$x'\approx y\Rightarrow x'Ry\wedge yRx'$

Insgesamt gilt also:

$\exists x\exists x'\exists y\exists y':x\in J\wedge x',y\in K\wedge y'\in L\wedge xRy\wedge yRx'\wedge x'Ry'\Rightarrow$

$\exists x\exists y':x\in J\wedge y'\in L\wedge xRy'\Rightarrow J\leq L$

---

zu 3.
zu zeigen: $K\leq L\wedge L\leq K\Rightarrow K=L$

Es gilt:

$K\leq L\Rightarrow \exists x\exists y:x\in K\wedge y\in L\wedge xRy$
$L\leq K\Rightarrow \exists x'\exists y':x'\in L\wedge y'\in K\wedge x'Ry'$

Da x',y∈L, gilt: $x'\approx y\Rightarrow x'Ry\wedge yRx'$
Da x,y'∈K, gilt: $x\approx y'\Rightarrow xRy'\wedge y'Rx$

Wähle nun beliebig aber fest ein t∈K. Dann gilt:

$t\approx x\wedge t\approx y'\Rightarrow$
$tRx\wedge xRt\wedge tRy'\wedge y'Rt\Rightarrow$
$tRx\Rightarrow _{a}tRy\Rightarrow _{b}tRy'$

a folgt aus der Transitivität von R und aus K≤L.
b folgt aus der Transitivität von R und aus $x'\approx y$ und $x\approx y'$

Aus der Symmetrie von R folgt somit auch x'Rt und insgesamt also $x'\approx t$. Da t∈K beliebig gewählt wurde und x'∈L, folgt hiermit $K\subseteq L$. Die andere Richtung für $L\subseteq K$ geschieht analog.

Aufgabe 2.5

a)

zu zeigen: $et_{b}(x,y)\leq et_{a}(x,y)$, also $\max(0,x+y-1)\leq x*y$

Da x,y≥0, folgt x*y≥0. Bleibt also noch zu zeigen, dass gilt:x*y≥x+y-1. Es gilt jedoch:

$y\leq 1\Rightarrow y\leq {\frac {x-1}{x-1}}\Rightarrow y(x-1)\geq x-1\Rightarrow xy-y\geq x-1\Rightarrow xy\geq x+y-1$

---

zu zeigen: $et_{a}(x,y)\leq et_{m}(x,y)$, also$xy\leq min(x,y)$

ObdA sei min(x,y)=x. Dann folgt:

$et_{m}(x,y)=min(x,y)=x\geq x*y=et_{a}(x,y)$

---

zu zeigen:$et_{m}(x,y)\leq vel_{m}(x,y)$, als min(x,y)≤max(x,y)

1.Fall: x<y:
min(x,y) = x < y = max(x,y)

2. Fall:x≥y
min(x,y) = y ≤ x = max(x,y)

---

zu zeigen:$vel_{m}(x,y)\leq vel_{a}(x,y)$, also max(x,y) ≤ x+y-xy. ObdA sei max(x,y)=x. Dann folgt:
0 ≤ y (1 - x)
0 ≤ y - xy
x ≤ x + y - xy max(x,y) ≤ x + y - xy

---

zu zeigen:$vel_{a}(x,y)\leq vel_{b}(x,y)$, also x + y-x ≤ min(1,x+y). Es gilt:

x + y -xy ≤ x + y, da x,y ∈ [0,1]

Außerdem nimmt x+y-xy bei x=1,y=1 seinen Maximalwet an und es gilt:
1+1-1*1 = 1 ≤ 1.

Damit folgt x+y-xy≤x+y und x+y-xy≤1, und somit auch auch x+y-xy&lemax(1,x+y);

b)

zu zeigen: $non_{d}(x)\leq non_{L}(x)$

1.Fall: x=0
$non_{d}(0)=1\leq 1=non_{L}(0)$

2. Fall: x∈(0,1]
$non_{d}(x)=0\leq 1-x=non_{L}(x)$

zu zeigen:$non_{L}(x)\leq non_{sd}(x)$

1. Fall: x=1:
$non_{L}(1)=0\leq 0=non_{sd}(x)$

2. Fall: x∈[0,1)
$1-x\leq 1=non_{sd}(x)$

c)

zu zeigen: $seq_{KD}(x,y)\leq seq_{R}(x,y)$, also max(1-x,y) ≤ 1-x+xy.

1. Fall: max(1-x,y)=1-x:
max(1,1-x) = 1 - x ≤ 1 - x + xy

2. Fall: max(1-x,y)=y:
Es gilt:
y ≤ 1
y ≤ (1-x) / (1-x)
y(1 - x) ≤ 1 - x
y - xy ≤ 1 - x
y ≤ 1 - x + xy max(1-x,y) ≤ 1 - x + xy

---

zu zeigen:$seq_{R}(x,y)\leq seq_{L}(x,y)$, also 1-x+xy≤min(1,1-x+y). Es gilt:
1 - x + xy ≤ 1 - x + xy, da xy≤y.

Außerdem gilt:
1 - x ≤ 1, da x∈[0,1]
1 - x + xy ≤ 1
Insgesamt folgt damit die Behauptung.

---

zu zeigen:$seq_{L}(x,y)\leq seq_{SD}(x,y)$, also

$\min(1,1-x+y)\leq \left\{{\begin{matrix}y,&{\mbox{falls }}x=1\\1-x,&{\mbox{falls }}y=0\\1,&{\mbox{falls }}x\in [0,1)\wedge y\in (0,1]\end{matrix}}\right.$

1. Fall: x=1
$seq_{L}(x,y)=\min(1,1-x+y)=min(1,y)=y\leq y=seq_{SD}(x,y)$

2. Fall: y=0
$seq_{L}(x,y)=\min(1,1-x+y)=min(1,1-x)=1-x\leq 1-x=seq_{SD}(x,y)$

3. Fall: x ∈ [0,1), y ∈ (0,1]
$seq_{L}(x,y)=\min(1,1-x+y)=min(1,1-x)\leq 1=seq_{SD}(x,y)$

---