Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operation für Funktionen verwendet.

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu.

Eine Funktion ist also eine eindeutige Zuordnung und hat demnach die explizite Eigenschaft:

Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben; man nennt sie Funktionsgleichung.

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt:

Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat:

f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt.
zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge B explizit zu einem Teil der Funktion machen, und definiert:

Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt.

Daneben gibt es vor allem in der Informatik noch den Begriff der partiellen Funktion. Bei dieser darf es $x$ -Werte geben, denen kein $y$ -Wert zugeordnet ist. Allerdings darf es auch dort für einen $x$ -Wert nicht mehr als einen $y$ -Wert geben. Um partielle Funktionen von den in diesem Artikel behandelten Funktionen zu unterscheiden bezeichnet man letztere auch als totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen

Statt der bekannten Schreibweise aus der Mengenlehre $f\subseteq A\times B$ schreibt man

$f\colon A\to B$

Sprechweise:

„Funktion

f

von

A

nach

B

“

Statt der bekannten Schreibweise aus der Mengenlehre $(x,y)\in f$ schreibt man

$f\colon x\mapsto f(x)$ oder $f\colon x\mapsto y$

Sprechweise:

„x wird abgebildet auf f von x“

„f von x wird x zugeordnet“

„y gleich f von x“

„y ist das Bild von x unter der Abbildung f“

Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich oder Domain genannt. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch „x-Werte“, die Zielmenge B wird auch Codomain genannt, die Elemente von B heißen salopp auch „y-Werte“. Funktionswerte heißen dagegen nur diejenigen Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Als "Wertemenge" oder "Wertebereich" wird etwas uneinheitlich

entweder die Bildmenge, also die Menge {f(x) | x ∈ A} der tatsächlich angenommenen Werte,
oder die Zielmenge

bezeichnet.

Funktionen als Strukturen

Eine große Rolle spielen Funktionen in der Mathematik auch als Hilfsmittel, um mehreren gleichartigen Größen eine Struktur zuzuordnen.

Beispiel: Um den Werten 4, 5, 6 und 4 die Struktur einer Tabelle mit zwei Spalten und zwei Zeilen zuzuordnen

{\begin{pmatrix}4&5\\6&4\\\end{pmatrix}}

wird jeder Position in der Tabelle (repräsentiert durch das Zahlenpaar Zeile und Spalte) ein Wert zugeordnet, hier zum Beispiel für Wert 6 in Zeile 2, Spalte 1:

(2,1)\mapsto 6

Die Funktion

\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\to \mathbb {R} ,\quad (i,j)\mapsto a_{ij}

ist eine allgemeine Darstellung einer solchen Tabelle mit Werten

a_{11}

,

a_{12}

,

a_{21}

und

a_{22}

.

Auf diese Weise werden in der Mathematik unter anderem N-Tupel, Folgen und Matrizen definiert.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die $y=f(x)$ . Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;\;x\mapsto x^{2}$

Die Nachfolger-Funktion: $s:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\;\;x\mapsto x+1$

Wichtige Begriffe

Das Bild eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Elemente die in B getroffen werden, also f(A) = { f(x) : x in A } und dies ist eine Teilmenge von B
Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt auch Faser von y.
Das Urbild einer Teilmenge M der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
Die Verkettung oder Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat.
Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.
Sie ist idempotent, wenn $f(f(x))=f(x)\,$ für alle Elemente $x$ des Definitionsbereichs gilt.
Sie ist eine Involution, wenn $f(f(x))=x\,$ für alle Elemente $x$ des Definitionsbereichs gilt.
Eine zweistellige Funktion $f$ heißt kommutativ, wenn $f(x,y)=f(y,x)\,$ für alle $x$ und $y$ aus der Definitionsmenge gilt.
Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt gerade Funktion, wenn für alle $x\in D$ auch $-x\in D$ ist und die Achsensymmetrie $f(x)=f(-x)\,$ gilt.
Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt ungerade Funktion, wenn für alle $x\in D$ auch $-x\in D$ ist und die Punktsymmetrie $f(-x)=-f(x)\,$ gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z. B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Zielmenge „Rücksicht nehmen“, werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Datei:Lineare Funktion.PNG

affine Funktion

Polynomfunktion 5. Grades

komplexe Exponentialfunktion

Sinusfunktion

Kugelflächenfunktion

Datei:Normal density.png

Gaußsche Glockenkurve

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungsmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

Algebraische Funktionen: Man nennt eine Funktion $w=w(z)$ algebraisch, wenn sie Lösung einer algebraischen Gleichung

\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{m}a_{ij}z^{i}w^{j}=0

ist, wobei das Polynom

\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{m}a_{ij}X_{1}^{i}X_{2}^{j}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2}]

über

\mathbb {C}

irreduzibel ist.^[1]Zu der Menge der algebraischen Funktionen gehören unter anderem alle Funktionen, die sich aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzen. Es existieren aber auch algebraische Funktionen, die sich auf dieser Weise nicht darstellen lassen (siehe Galoistheorie).

homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
Kubische Funktion
Potenzfunktion
Polynom-Funktion; auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
$f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}$
Rationale Funktion; gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke