Entropiezahl

Entropiezahlen basieren auf dem Begriff der Epsilon-Entropie.

Formale Definition

Äußere Entropiezahlen

Seien $X$ und $Y$ Banachräume und $T$ ein linearer stetiger Operator $T\in L(X,Y)$, so nennt man

$\varepsilon _{n}(T):=\inf \left\{\varepsilon >0|\exists x_{1},...,x_{n}\in Y{\mbox{mit }}T(U_{X})\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{{x_{i}}+\varepsilon B_{Y}}\right\}$

n-te Entropiezahl von T, wobei $B_{X}$ bzw. $B_{Y}$ die abgeschlossenen Einheitskugeln in X bzw. Y sind.
Wir nennen:

$e_{n}:=\varepsilon _{2^{n}-1}(T)$

die n-te dyadische Entropiezahl von T.
Beim ¨Ubergang von den “normalen“ Entropiezahlen zu den dyadischen gehen bei der asymptotischen Betrachtung keine wesentlichen Informationen verloren. Darum werden die dyadischen Entropiezahlen auch oft nur Entropiezahlen genannt.

Innere Entropiezahlen

Seien $X$ und $Y$ Banachräume und $T$ ein linearer stetiger Operator $T\in L(X,Y)$, so nennt man

$\varphi _{n}(T):=\sup \left\{\rho >0:\exists \,p>n{\mbox{ mit }}y_{1},...,y_{p}\in T(U_{X}),\,\left\|y_{i}-y_{j}\right\|\geq 2\rho \,\forall i\neq j\right\}$

innere Entropiezahl von T.

$f_{n}(T):=\varphi _{2^{n}-1}(T)$

wird dyadische innere Entropiezahl von T genannt.

Bemerkung

Wie Carl und Stephani in ihrem Buch Entropy, compactness and the approximation of operators gezeigt haben, besteht die Beziehung

$\varphi _{n}(T)\leq \epsilon _{n}(T)\leq 2\varphi _{n}(T)$

weshalb man meist nur $e_{n}(T)$ betrachtet.