Energie-Impuls-Tensor

Der Energie-Impuls-Tensor wird in seiner allgemeinsten Form folgendermaßen angegeben:

$(T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}w&{\frac {S_{x}}{c}}&{\frac {S_{y}}{c}}&{\frac {S_{z}}{c}}\\{\frac {S_{x}}{c}}&G_{xx}&G_{xy}&G_{xz}\\{\frac {S_{y}}{c}}&G_{yx}&G_{yy}&G_{yz}\\{\frac {S_{z}}{c}}&G_{zx}&G_{zy}&G_{zz}\end{pmatrix}}$

• w ist eine Energie-Dichte (Energie pro Volumen)
• $(S_{x},S_{y},S_{z})$ ist eine Energie-Strom-Dichte
• $G_{ik}$ wird als Spannungs-Tensor bezeichnet, er beinhaltet weitere Energieformen, z.B. den Druck, den ein Strahlungs-Feld ausüben kann.

$w=\rho c^{2}$ ergibt einen Beitrag zur Energiedichte, wenn $\rho$ eine Massen-Dichte ist und c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Daneben kann eine Energiedichte auch aus einer reinen Ansammlung von Photonen bestehen.

In der Regel spricht man von Massendichte, wenn eine Ruhemasse existiert. Bei massiven Teilchen wie Elektronen und Protonen ist dies der Fall. Photonen werden oft als masselose Teilchen bezeichnet, weil sie keine Ruhemasse haben. Man kann ihnen dennoch eine Masse zuordnen.

Die Energie eines Photons berechnet sich nach $E=h\nu$, h ist das Plancksche Wirkungsquantum, $\nu$ die Frequenz eines Photons.

Die Masse des Photons bestimmt man dann aus der Energie-Masse-Äquivalenz $E=mc^{2}$.

Eine Energiestromdichte ist eine Energiedichte multipliziert mit einer Geschwindigkeit.

Im folgenden werden spezielle Tensoren angegeben, auf die diese Beschreibung des Energie-Impuls-Tensors zutrifft.

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Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik

im Gauss-Einheitensystem

$(T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}{\frac {1}{8\pi }}(E^{2}+B^{2})&{\frac {1}{4\pi }}({\vec {E}}\times {\vec {B}})\\{\frac {1}{4\pi }}({\vec {E}}\times {\vec {B}})&T^{ik}\end{pmatrix}}$

E ist das Symbol für die elektrische Feldstärke. B ist das Symbol für die magnetische Flussdichte. $T^{ik}$ ist nicht genauer spezifiziert, die Größe beschreibt den Anteil des Spannungstensors.

Die Komponente $T_{00}$ des Tensors ist eine Energiedichte.

${\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\times {\vec {H}}$ ist der Poyntingvektor. Er beschreibt eine Energiestromdichte.

c ist das Symbol für die konstante Lichtgeschwindigkeit.

${\frac {\vec {S}}{c}}={\frac {1}{4\pi }}{\vec {E}}\times {\vec {B}}$ ist ein Vektor mit der Dimension einer Energiedichte. Diese Bedingung gilt für alle Komponenten des Energie-Impuls-Tensors.

$(T^{\alpha \beta })$ ist eine quadratische Matrix mit 4 Zeilen und 4 Spalten, denn ${\vec {E}}\times {\vec {B}}$ ergibt einen Vektor mit 3 Komponenten.

Der Energie-Impuls-Tensor sieht in SI-Einheiten folgendermaßen aus:

$(T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2\mu _{0}}}({\frac {E^{2}}{c^{2}}}+B^{2})&c\epsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}\\c\epsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}&T^{ik}\end{pmatrix}}$

$\epsilon _{0}$ ist das Symbol für die elektrische Feldkonstante. $\mu _{0}$ ist das Symbol für die magnetische Feldkonstante.

Der Poyntingvektor hat jetzt folgende Gestalt:

$S=\epsilon _{0}c^{2}{\vec {E}}\times {\vec {B}}$

In beiden Darstellungen setzt sich der Energie-Impuls-Tensor also folgendermaßen zusammen: die Komponente $T^{00}$ ist die Energie/Massendichte, des weiteren enthält er eine Energiestromdichte dividiert durch den konstanten Faktor c (dividiert durch c ergibt sich wieder eine Energiedichte), und einen Spannungstensor $T^{ik}$.

Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik

Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynmik geht in die Einsteinschen Feldgleichungen ein und ermöglicht die Angabe von Lösungen der Differentialgleichungen, mit denen die Dynamik des Kosmos beschrieben werden kann.

Er wird in Lehrbüchern der theoretischen Physik, die Kapitel über Kosmologie enthalten, in der Regel in kontravarianter Darstellung folgendermaßen angegeben:

$T^{ik}=(\rho +{\frac {P}{c^{2}}})u^{i}u^{k}-Pg^{ik}$

• $(u^{i})$ ist die Vierergeschwindigkeit
• P beschreibt den Druck (z.B. eines Strahlungsfeldes)
• $\rho$ ist die Massendichte
• $(g^{ik})$ ist der Metrische Tensor der Speziellen Relativitätstheorie
• c ist der Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Diese Beschreibung des Energie-Impuls-Tensors setzt eine Menge von Flüssigkeits-Teilchen voraus, an die folgende Bedingungen gestellt werden:

es liegt eine ideale Flüssigkeit vor und der Druck ist isotrop im Ruhesystem eines jeden Teilchens.

In der Kosmologie werden Galaxien als Elemente einer idealen kosmischen Flüssigkeit betrachtet.

Die innere Expansion einer Galaxis wird dabei nicht betrachtet, sie entfernt sich auf Grund der kosmischen Expansion von allen anderen Galaxien, ein Beobachter, der sich mit dieser Galaxis mitbewegt, wird relativ zu ihr als ruhend betrachtet.

In diesem Sinne ist eine Galaxie das Ruhesystem eines mitbewegten Beoabachters.

In einem solchen Ruhesystem reduziert sich der Vektor der Vierergeschwindigkeit zu $(u^{i})=(c,0,0,0)$.

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich im Ruhesystem des Beobachters dadurch, dass der metrische Tensor $(g^{ik})$ durch den metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie ersetzt werden kann.

Man betrachte als Beispiel den freien Fall eines Fahrstuhles. Der mitbewegte Passagier fühlt sich schwerelos. Er ruht in seinem mitbewegten System, das sich auf Grund der Erdgravitation bewegt.

Dadurch vereinfacht sich der Energie-Impuls-Tensor:

$(T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P\end{pmatrix}}$

Verschwindet auch der Druch P, so besteht der Energie-Impuls-Tensor nur noch aus der Energie/Massendichte:

$(T^{\alpha \beta })={\begin{pmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Literatur

• Richard P. Feynman, Vorlesungen über Physik, Oldenbourgh 1991 (SI-System)
• Walter Greiner, Klassische Elektrodynamik, Verlag Harri Deutsch, 1991 (Gauss-System)
• Torsten Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, BI Wissenschaftsverlag, 1990 (mit einem Abschnitt über Hydrodynamik und einem Kapitel über Kosmologie)