Eine diophantische Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophantos/Diophant von Alexandria, um 250) ist eine Gleichung der Form f(x1, x2, x3, . . ., xn) = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten, bei der man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert. Diese Einschränkung der Lösungsmenge ergibt einen Sinn, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn Probleme in der Praxis nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, z. B. Stückzahlverteilung bei der Herstellung von mehreren Produkten.
Beispiele
- X2 - Y = 0 besitzt als Lösung die Zahlenpaare (1,1), (2,4), (-2,4), (3,9), (-3,9), ... allgemein: (±n,n2).
- X4 + Y2 + Z20 = -7 besitzt keine Lösung, da die linke Seite der Gleichung immer größergleich Null ist.
- 3X = 4 besitzt keine Lösung, da bei diophantischen Gleichungen nur ganzzahlige Lösungen gesucht sind.
Lineare Diophantische Gleichung
Diophantische Gleichungen, in denen keine Potenzen auftauchen, nennt man linear. Für sie gibt es Algorithmen, die immer (nach endlich vielen Schritten) alle Lösungen finden. Siehe Lineare Diophantische Gleichung
Berühmte Diophantische Gleichungen
Pythagoreische Tripel
Die Lösungen von X2 + Y2 = Z2 bilden die sogenannten Pythagoreischen Tripel.
Wenn man obige Gleichung zu Xn + Yn = Zn erweitert, erhält man eine diophantische Gleichung, von der Fermat vor 400 Jahren behauptet hat, dass sie für n>2 keine ganzzahlige Lösung besitzt (außer den trivialen Lösungen, bei denen eine der Zahlen null ist), was erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen wurde.
Pellsche Gleichung
Neben der linearen diophantischen Gleichungen ist die so genannte Pellsche Gleichung am wichtigsten x2 - D y2 = 1, wobei für ein gegebenes D das kleinste Wertepaar x,y zu suchen ist, aus dem sich alle anderen Paare leicht finden lassen.
Hilberts Zehntes Problem
Im Jahr 1900 stellte David Hilbert das Problem der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung als zehntes Problem seiner berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen vor. 1970 bewies Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch, dass die Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung unentscheidbar ist.
Literatur
- Yuri V. Matiyasevich: Hilbert's Tenth Problem. Erschienen in der Reihe Foundations of Computing bei MIT Press. Cambridge, Massachusetts and London, England, 1993. ISBN 0-262-13295-8.