Plancksches Strahlungsgesetz

Das Plancksches Strahlungsgesetz beschreibt das Spektrum der Strahlung des schwarzen Körpers. Ende des 19. Jahrhunderts versuchten die Physiker das Abstrahlungsspektrum des schwarzen Körpers auf der Grundlage der Gesetze der klassischen Physik, statistischen Physik und der Elektrodynamik zu verstehen.

Einander widersprechende Ergebnisse (Wien'sches Verschiebungsgesetz, Rayleigh-Jeans-Gesetz) führten zu einer nicht zufriedenstellenden Situation.

Nach dem Kirchhoff'schen Strahlungsgesetz sind Strahlungsabsorption und -emission proportional. Ein schwarzer Körper, der wärmer als der absolute Nullpunkt (-273,15 °C = 0 Kelvin) ist, gibt elektromagnetische Strahlung ab.

Das Planck'sche Strahlungsgesetz

Das Spektrum der Strahlung des schwarzen Körpers wurde erstmals von Max Planck korrekt beschrieben. Das nach ihm benannte "Planck'sche Strahlungsgesetz" für einen schwarzen Körper der absoluten Temperatur T lautet in der Frequenzdarstellung

$I(\nu )\,\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}\mathrm {d} \nu \,\mathrm {d} \Omega$

wobei I ($\nu$) die Energie ist, die im Frequenzbereich $\nu$ und $\nu +d\nu$ pro Oberflächen- und Zeiteinheit senkrecht zur Oberfläche in einen Raumwinkel pro Flächeneinheit abgestrahlt wird (W m^-2 Hz^-1 sr^-1). Weiter sind h das Planck'sche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit und k die Boltzmannkonstante. In andere Richtungen als senkrecht zur Oberfläche ist die Strahlungsdichte geringer (Lambert-Strahler), so daß man die gesamte abgestrahlte Energie erhält, wenn man die Gleichung mit $\pi$ multipliziert, obwohl der Raumwinkel gleich $2\pi$ ist. Das ist die Halbkugel auf der Oberfläche in die die Strahlung emittiert wird.

Betrachtet man die Strahlungsdichte in einem Hohlraum, so kommt zusätzlich ein weiterer Faktor 4/c hinzu, als mittlere Laufzeit zwischen Emission und Absorption. 4/c ist natürlich keine Zeit, sondern Zeit durch Länge. Je größer der Hohlraum ist, um so größer ist auch die mittlere Zeit, aber auf eine um so größere Strecke verteilt sich auch die Energie des Strahls. Deswegen fallen die Hohlraumabmessungen bei der Energiedichte heraus und 4/c ist der richtige Faktor.

In der Wellenlängendarstellung mit λ = c/ν hat die Gleichung die Gestalt

$I(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega ={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}\mathrm {d} \lambda \,\mathrm {d} \Omega \ .$

Diese Entdeckung Plancks im Jahre 1900 gilt gleichzeitig als Geburtsstunde der Quantenmechanik, da er zur Erklärung der empirisch gefundenen Formel annahm, dass Licht nicht kontinuierlich, sondern nur diskret in Quanten (heute spricht man von Photonen) aufgenommen und abgegeben wird.

Zur Geschichte der Entdeckung der Strahlungsgesetze: [|http://www.ing-buero-ebel.de/strahlung/index.htm]

Zum Schluß noch die Formelzusammenstellung (angegebene Maßeinheiten sind nur dann richtig, wenn alle Größen in SI-Einheiten eingegeben werden.) mit den Formelzeichen nach EN ISO 9288:

räumliche Strahlungsdichte (W m-2 Hz-1 sr-1)		bzw. (W m-2 m-1 sr-1)
	$L(\nu )\,={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$L(\lambda )\,={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
Strahlungsdichte (W m-2 Hz-1)		bzw. (W m-2 m-1)
	$M(\nu )\,={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {\pi }{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$M(\lambda )\,={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {\pi }{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	gesamte Abstrahlung (Integration über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen - W m-2):
	$M^{o}\,=\sigma \,T^{4}$	mit (Stefan-Boltzmann-Konstante)	$\sigma \,={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{2}}}\,=5,67\,\cdot \,10^{-8}\,{\frac {W}{m^{2}K^{4}}}$
	Energiedichte im Hohlraum (W s m-3 Hz-1)		bzw. (W s m-3 m-1)
	$U(\nu )\,={\frac {8h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {\pi }{e^{\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}-1}}$		$U(\lambda )\,={\frac {8hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {\pi }{e^{\left({\frac {hc}{\lambda kT}}\right)}-1}}$
	gesamte Energiedichte im Hohlraum (Integration über alle Frequenzen bzw. Wellenlängen - W s m-3):
	$U^{o}\,=\sigma ^{*}\,T^{4}$	mit	$\sigma ^{*}\,={\frac {8\pi ^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}}}\,=7,56\,\cdot \,10^{-16}\,{\frac {Ws}{m^{3}K^{4}}}$

Folgerungen

Die Folgerungen des Planck'schen Strahlungsgesetzes bestätigten das früher gefundene Wien'sche Verschiebungsgesetz, welches das Emissionsmaximum des schwarzen Körpers bestimmt, das ebenfalls früher gefundene Stefan-Boltzmann-Gesetz, welches die gesamte abgestrahlte Energie eines schwarzen Körpers angibt und das Rayleigh-Jeans-Gesetz, welches die Strahlungsabhängigkeit für niedrige Wellenlängen beschreibt.

Mit zunehmender Temperatur T verschiebt sich das Maximum der Strahlungsenergie zu kürzeren Wellenlängen λ, das Licht wird blauer, siehe Glutfarben.

Wilhelm Wien (1864–1928) formulierte 1893 den Zusammenhang, das so genannte Wien'sche Verschiebungsgesetz:

$T\cdot \lambda _{\mathrm {max} }=\mathrm {konstant}$

wobei der konstante Wert 2,989·10^-3 m K beträgt.

Weiterhin gilt:

$\lambda \cdot \nu =c_{0}$

Für große Temperaturen $T$ ist der Exponent der Exponentialfunktion in der Strahlungsformel klein, der Ausdruck $\exp(a)$ kann für $a<\!<1$ genähert werden durch ($1+a$). Eingesetzt in die Formel ergibt sich eine Temperaturabhängigkeit proportional ${\frac {1}{\lambda ^{4}}}$, das Rayleigh-Jean'sche Strahlungsgesetz.

Intensitätsverteilung der Schwarzkörperstrahlung

Plancksche Strahlungsformel für verschiedene Temperaturen

Bei 500 nm ist das sichtbare Spektrum eingezeichnet. Ab 700 °C zeigen Körper ein rotes Glimmen (Kurvenverlauf in der Abbildung nicht zu erkennen), mit steigender Temperatur verschiebt sich das Maximum in den blauen Bereich.

Dank des scharfen Abfalls bei kurzen Wellenlängen strahlen Glühlampen keine UV-Strahlung aus, dank der Filterwirkung von Glas gilt dies in hohem Maß auch für Halogen-Glühlampen. Die harte UV-Strahlung, die wir bei der Sonne mit einer Strahlungstemperatur von ca. 5500 °C erwarten müssten, filtert unsere Atmosphäre.