Der Machtindex beschreibt das Entscheidungsgewicht einzelner Partner bei Mehrheitsentscheidungen.
Die Partner treffen eine Entscheidung, wenn die Befürworter ein Quorum erreichen. Beispiele für ein Quorum sind eine absolute Mehrheit von mehr als 50 %, die qualifizierte Mehrheit von zwei Dritteln z. B. bei Verfassungsänderungen oder 10 % für die Durchführung von Volksbegehren. Der Machtindex eines Partners sagt aus, wie viele Entscheidungen aller möglichen Koalitionen der beteiligten Parteien er statistisch beeinflussen könnte.
Die Berechnung des normierten Machtindex nach Shapley-Shubik (Lloyd Shapley 1953, Martin Shubik 1954) und die nach Banzhaf (Lionel Penrose 1946, John Banzhaf 1965) liefert ähnliche Ergebnisse.
Beispiel: Shapley-Shubik-Index
Drei Partner A, B, C mit einem Stimmgewicht von 50, 49 und 1 treffen Entscheidungen mit einem Quorum von 51 %. Man betrachtet alle möglichen Dreierkombinationen und notiert, welcher Partner die Entscheidung bestimmt und einen Swing (Umschwung) verursachen kann.
Erst wenn sich zu A der Partner B hinzugesellt, bilden sie eine Mehrheit, B entscheidet. Das Gleiche gilt für C, wenn es sich mit A zusammenschließt. Denn auch A, C haben eine Mehrheit:
- ABC: B entscheidet (denn AB bilden ein Quorum)
- ACB: C entscheidet (denn AC bilden ein Quorum)
Ebenso entscheidet A, wenn er sich B anschließt. Mit C wird keine Mehrheit erreicht, es muss erst B hinzukommen. Stoßen A und B auf C, gelten die Überlegungen analog:
- BAC: A entscheidet
- BCA: A entscheidet
- CAB: A entscheidet
- CBA: A entscheidet (denn erst CBA bilden ein Quorum)
Von den 6 möglichen Kombinationen entscheidet A 4, B und C jeweils eine. A besitzt einen Machtindex von 2/3, B und C jeweils von 1/6.
Der Partner C mit nur einer Stimme hat den gleichen Machtindex wie Partner B mit 49 Stimmen. Erhöht man das Quorum um 1 Stimme auf 52, verliert C jegliche Entscheidungsmacht, ebenso bei einem Quorum von 49 Stimmen:
| Quorum | A | B | C | |
|---|---|---|---|---|
| Stimmen | 50 | 49 | 1 | |
| Machtindex | 52 | 50 % | 50 % | 0 % |
| Machtindex | 51 | 66 % | 17 % | 17 % |
| Machtindex | 50 | 66 % | 17 % | 17 % |
| Machtindex | 49 | 50 % | 50 % | 0 % |
Beispiel: Banzhaf-Index
Hier errechnet sich der Index einfach durch Abzählen der siegreichen Koalitionen, in denen der Partner x wesentlich zum Sieg beiträgt. So ergibt sich für obiges Beispiel:
- A gewinnt mit den Koalitionen: AB, AC und ABC
- B gewinnt mit den Koalitionen: AB
- C gewinnt mit den Koalitionen: AC
Daraus ergibt sich die Banzhaf-Macht aus der Summe der siegreichen wesentlichen Koalitionen von A,B und C: 3 + 1 + 1 = 5. Der Banzhaf-Index ist dann genau die normalisierte Banzhaf-Macht:
- A = 3/5 = 60 %
- B = 1/5 = 20 %
- C = 1/5 = 20 %
Dies bedeutet: Obwohl C nur einen Bruchteil der Stimmen von B besitzt, hat er doch die gleiche Macht.
Literatur
- Steven A. Brams: Game Theory and Politics. The Free Press, New York 1975, ISBN 0-02-904550-9, S. 157–198.
- Dan S. Felsenthal, Moshé Machover: The measurement of voting power: Theory and practice, problems and paradoxes. Elgar, Cheltenham 1998, ISBN 1-85898-805-5.
- Manfred J. Holler, Johann Kellermann: Die a-priori-Abstimmungsstärke im Europäischen Parlament. In: Kyklos 31, 1978, ISSN 0023-5962, S. 107-111.
- Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie. 6. Auflage, Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-27880-X, S. 304–338.
- Alan D. Taylor: Mathematics and politics: Strategy, voting, power and proof. Springer, New York 1995, ISBN 0-387-94391-9, S. 63–95, 205–240.