Ordinalzahl

Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: "Erstes, zweites, drittes, ... Element". Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter.

Der Mathematiker Georg Cantor beschrieb, wie man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann und wie man mit transfiniten Ordinalzahlen rechnen kann.

Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Während diese beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Größe einer Menge führt zum Begriff der Kardinalzahl, während die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge zu Ordinalzahlen führt, die hier beschrieben sind.

Die Gesamtheit der Ordinalzahlen bildet in der modernen Mengenlehre - wie die Kardinalzahlen - eine echte Klasse.

Natürliche Zahlen als Mengen

Man definiert die natürlichen Zahlen in der Mengenlehre üblicherweise auf die folgende Weise:

$0:=\emptyset$ (die leere Menge)

$1:=\{0\}=\{\emptyset \}$

$2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$

$3:=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$

$4:=\{0,1,2,3\}\,$

...

Allgemein:

$n+1:=n\cup \{n\}$

So definiert, sind die natürlichen Zahlen wohlgeordnet durch die Elementrelation ($n\in n+1$). Zum Beispiel hat die Zahl 4 die Elemente 0, 1, 2, 3, die als 0 < 1 < 2 < 3 geordnet werden. Man schreibt deshalb auch $4:=\{0<1<2<3\}$. Eine natürliche Zahl $a$ ist also kleiner als eine Zahl $b$ wenn $a$ ein Element von $b$ ist.

Für die gesamte Menge der natürlichen Zahlen setzt man:

$\omega :=\mathbb {N} =\{0<1<2<3<...\}$

Motivation und Definition

Wir wollen zwei wohlgeordnete Mengen nicht unterscheiden, wenn sie sich nur im "Aussehen" ihrer Elemente, nicht aber in deren Anordnung unterscheiden, dazu definieren wir:

Zwei total geordnete Mengen $(A,\leq _{A})$ und $(B,\leq _{B})$ heißen ordnungsisomorph, wenn es eine Bijektion $f:A\to B$ gibt, so dass für alle $a,b\in A$ gilt:

Aus $a\leq _{A}b$ folgt $f(a)\leq _{B}f(b)$.

Die Abbildung $f$ heißt dann Ordnungsisomorphismus (siehe auch Isomorphismus). Die Gesamtheit aller zueinander ordnungsisomorphen Mengen stellt eine Äquivalenzklasse dar, die Ordnungstypus genannt wird.

Nun kann man zeigen, dass jede endliche wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu (genau) einer natürlichen Zahl ist. Außerdem sind für eine wohlgeordnete Menge die folgenden drei Aussagen äquivalent: 1.) Sie ist endlich. 2.) Die umgekehrte Ordnung ist eine Wohlordnung. 3.) Jede nichtleere Teilmenge hat ein größtes Element.

Dies liefert die Grundlage für die Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu Ordinalzahlen, die als spezielle wohlgeordnete Mengen so gewählt werden, dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist. Somit ist jede Ordinalzahl also spezieller Vertreter eines bestimmten Ordnungstypus. Die folgende Definition verbessert Cantors Ansatz und wurde zuerst von John von Neumann angegeben:

Eine Menge $S$ heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von $S$ auch Teilmenge von $S$ ist und $S$ bezüglich der Mengeninklusion „$\subseteq$“ total geordnet ist.^,

Eine solche Menge $S$ ist automatisch wohlgeordnet aufgrund des Fundierungssaxioms, welches besagt: Jede nichtleere Menge $S$ hat ein Element $a$, das disjunkt zu $S$ ist. Die natürlichen Zahlen sind nach dieser Definition Ordinalzahlen. Zum Beispiel ist $2=\{0,1\}$ ein Element von $4=\{0,1,2,3\}$ und gleichzeitig eine Teilmenge. $\omega$ ist ebenfalls eine Ordinalzahl, die kleinste transfinite Ordinalzahl (größer als jede natürliche Zahl). Die Neumannsche Definition hat gegenüber der ersten Definition den Vorteil, dass sie aus der Sicht der Gundlagenforschung ein inerhalb der axiomatischen Mengenlehre eindwandfrei definiertes mengentheoretisches Objekt bestimmt. Jede wohlgeordnete Menge $X$ ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl, die man meistens mit ${\textrm {ord}}(X)$ oder ${\overset {\overline {X}}{\color {White}.}}$ bezeihnet.

Eigenschaften

Die Elemente einer Ordinalzahl sind selbst Ordinalzahlen. Hat man zwei Ordinalzahlen $S$ und $T$, dann ist $S$ ein Element von $T$ genau dann, wenn $S$ eine Teilmenge von $T$ ist, und es gilt, dass entweder $S$ ein Element von $T$, oder $T$ ein Element von $S$, oder $S$ = $T$ ist. Damit sind Ordinalzahlen total geordnet bezüglich der Elementbeziehung. Es gilt sogar noch mehr:

Jede Menge von Ordinalzahlen ist wohlgeordnet.

Dies verallgemeinert das Wohlordnungsprinzip, dass jede Menge von natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist, und erlaubt die freie Anwendung der transfiniten Induktion und der Beweismethode des "unendlichen Abstiegs" auf Ordinalzahlen.

Eine wichtige Feststellung ist, dass jede Ordinalzahl $S$ genau die Ordinalzahlen als Elemente hat, die kleiner sind als $S$. Durch diesen Satz wird die mengentheoretische Struktur einer Ordinalzahl vollständig durch kleinere Ordinalzahlen beschrieben. Man benutzt diese Tatsache, um andere Aussagen zu beweisen, wie z. B., dass jede nichtleere Menge $S$ von Ordinalzahlen ein Supremum hat, nämlich die Vereinigung aller Elemente von $S$, welche selbst eine Ordinalzahl ist. Eine andere Folgerung ist der Satz, dass die Klasse aller Ordinalzahlen keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Der Beweis basiert auf dem Regularitätsaxiom, dass keine Menge sich selbst als Element enthält. Wäre die Klasse aller Ordinalzahlen eine Menge, dann wäre sie selbst eine Ordinalzahl, müsste sich also selbst enthalten. (Siehe auch das Burali-Forti-Paradoxon.) Unter den Ordinalzahlen, die größer sind als eine Ordinalzahl $\xi$, gibt es eine kleinste: $s(\xi )$ genannt Nachfolger von $\xi$. Die Menge $W(\xi )=\{\eta |\eta <\xi \}$ heißt Abschnitt von $\xi$. Falls der Abschnitt von $\xi$ ein größtes Element hat, dann wird dieses Vorgänger von $\xi$ genannt. Nicht jede Ordinalzahl hat einen Vorgänger (wie z.B. die $0$). Man nennt eine Ordinalzahl, die einen Vorgänger hat (wie z.B. die $1$), isoliert. Eine nichleere Ordinalzahl ohne Vorgänger wird Limeszahl (oder Grenzzahl oder Zahl zweiter Art) genannt.

Rechenoperationen

Addition

Falls eine von zwei Ordinalzahlen die leere Menge ist, dann ist ihre Summe gleich die andere Ordinalzahl. Um die Summe zweier nichtleeren Ordinalzahlen $S$ und $T$ zu definieren, geht man so vor: Man benennt die Elemente von $T$ so um, dass $S$ und die umbenannte Menge $T^{(0)}$ disjunkt sind, und "schreibt $S$ links neben $T^{(0)}$", d. h. man vereinigt $S$ mit $T^{(0)}$ und definiert die Ordnung so, dass innerhalb von $S$ und $T^{(0)}$ jeweils die vorige Ordnung gilt und jedes Element von $S$ kleiner ist als jedes Element von $T^{(0)}$.^, Auf diese Weise wird die neue Menge wohlgeordnet und ist ordnungsisomorph zu einer eindeutig bestimmten Ordinalzahl, die man mit $S+T$ bezeichnet. Diese Addition ist assoziativ und verallgemeinert die Addition natürlicher Zahlen.

Die erste transfinite Ordinalzahl ist die geordnete Menge aller natürlichen Zahlen, man bezeichnet sie mit ω. Veranschaulichen wir uns die Summe $\omega +\omega$: Wir schreiben die zweite Kopie als $\{0_{0}<1_{0}<2_{0}<...\}$, dann haben wir

$\omega +\omega ={\textrm {ord}}(\{0<1<2<3<...<0_{0}<1_{0}<2_{0}<3_{0}<...\})$

Diese Menge ist nicht $\omega$, denn in $\omega$ ist die $0$ die einzige Zahl ohne Vorgänger, und $\omega +\omega$ hat zwei Elemente ohne Vorgänger ($0$ und $0_{0}$). Die Menge $3+\omega$ sieht so aus:

${\textrm {ord}}(\{0<1<2<0_{0}<1_{0}<2_{0}<3_{0}<...\})=\omega$

Wir haben also $3+\omega =\omega$. Dagegen ist

$\omega +3={\textrm {ord}}(\{0<1<2<3<...<0_{0}<1_{0}<2_{0}\})$

ungleich ω, denn $2_{0}$ ist das größte Element von $\omega +3$, aber $\omega$ hat kein größtes. Also ist die Addition nicht kommutativ. Man kann die Summe $\xi +\eta$ von zwei Ordinalzahlen $\xi$ und $\eta$ auch folgendermaßen definieren, wobei beide Definitionen in ZF äqivalent sind:

• falls $\eta =0$, dann sei $\xi +\eta =\xi$,
• falls $\eta$ isoliert ist und $\eta ^{-}$ der Vorgänger von $\eta$ ist, dann sei $\xi +\eta =s(\xi +\eta ^{-})$,
• falls $\eta$ eine Limeszahl ist, dann sei $\xi +\eta ={\textrm {sup}}\{\xi +\beta |\beta <\eta \}$.

Die Addition ist monoton. Das heißt: $\xi <\eta$${\ }^{\Rightarrow }$$\beta +\xi <\beta +\eta$ und $\xi$${\ }^{\leq }$$\eta$${\ }^{\Rightarrow }$$\xi +\beta$${\ }^{\leq }$$\eta +\beta$. Falls $\xi$${\ }^{\leq }$$\eta$, dann existiert eine eindeutig bestimmte Ordinalzahl $\gamma$, so dass $\eta =\xi +\gamma$. Man nennt sie Differenz von $\eta$ und $\xi$ und bezeichnet sie mit $\eta -\xi$. Jede transfinite Ordinalzahl läßt sich auf genau einer Weise als Summe $\lambda +n$ von einer Limeszahl $\lambda$ und einer endlichen Ordinalzahl $n$ darstellen.

Vorlage:Link-Bild

Dieser Abschnitt wird momentan gründlich überarbeitet und kann deshalb auch Flüchtigkeitsfehler und Ungenauigkeiten enthalten.

Multiplikation

Um zwei Ordinalzahlen $S$ und $T$ zu multiplizieren, schreibt man $T$ hin und ersetzt jedes Element von $T$ durch eine andere Kopie von $S$.. Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge, die isomorph zu genau einer Ordinalzahl ist, die man mit $ST$ bezeichnet. Auch diese Verknüpfung ist assoziativ und verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen Zahlen.

Die Ordinalzahl ω·2 sieht so aus:

{0₀ < 1₀ < 2₀ < ... < 0₁ < 1₁ < 2₁ < ...}

Man erkennt, dass ω·2 = ω + ω ist. Dagegen sieht 2·ω so aus:

{0₀ < 1₀ < 0₁ < 1₁ < 0₂ < 1₂ < ...}

und nach Umbenennen sehen wir, dass 2·ω = ω ist. Also ist auch die Multiplikation von Ordinalzahlen nicht kommutativ.

Eines der Distributivgesetze gilt für Ordinalzahlen: R·(S+T) = R·S + R·T. Das kann man direkt aus den Definitionen ablesen. Jedoch gilt das andere Distributivgesetz nicht allgemein, denn z. B. ist (1+1)·ω = 2·ω = ω, aber 1·ω + 1·ω = ω + ω.

Das neutrale Element der Addition ist die 0, das neutrale Element der Multiplikation ist die 1. Keine Ordinalzahl außer 0 hat ein Negatives (ein additiv inverses Element), also bilden die Ordinalzahlen mit der Addition keine Gruppe, und erst recht keinen Ring.

Potenzierung

Man kann fortfahren und die Potenz S^T von Ordinalzahlen S und T definieren und ihre Eigenschaften untersuchen, was wir in diesem Artikel jedoch nicht tun, da dafür noch weitere Eigenschaften der Ordinalzahlen bekannt sein müssen.

Es gibt Ordinalzahlen, die nicht mit einer endlichen Anzahl von Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Potenzierung) von ω aus erreichbar sind. Die kleinste von ihnen nennt man ε₀. Sie ist immer noch abzählbar, aber es gibt auch überabzählbare Ordinalzahlen. Die kleinste überabzählbare Ordinalzahl ist die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen, und wird mit ω₁ bezeichnet.

Topologische Eigenschaften

Jede Ordinalzahl lässt sich aufgrund ihrer totalen Ordnung durch die Ordnungstopologie zu einem topologischen Raum machen. In dieser Topologie konvergiert die Folge (0, 1, 2, ...) gegen ω, und die Folge (ω, ω^ω, ω^ωω, ...) konvergiert gegen ε₀. Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als Grenzwert eines Netzes von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden. Im allgemeinen sind sie jedoch nicht Grenzwert einer Folge kleinerer Ordinalzahlen, wie z. B. die kleinste überabzählbare Ordinalzahl ω₁.

Die topologischen Räume ω₁ und ω₁+1 werden in Büchern oft als Beispiel einer nicht abzählbaren Topologie genannt. Zum Beispiel gilt im Raum ω₁+1, dass das Element ω₁ im Abschluss der Teilmenge ω₁ liegt, aber keine Folge in ω₁ gegen das Element ω₁ konvergiert. Der Raum ω₁ erfüllt das erste, aber nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom und ω₁+1 keines von beiden.

Literatur

• Natanson I.P., Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk), Kapitel XIV., § 1-3.

• Cohen, P., Set Theory and the Continuum Hypothesis, W. A. Benjamin Inc., New York, 1966, ISBN 978-0805323276

• Komjath P., Totik V., Problems and Theorems in Classical Set Theory, Springer, 2006, ISBN 978-0387302935

• Klaua D., Kardinal- und Ordinalzahlen, Teil 2, Vieweg, Braunschweig, 1974, ISBN 3-528-06141-3

• Hrbacek, K., Jech T., Introduction to Set Theory, Marcel Dekker Inc., New York, 1999, ISBN 0-8247-7915-0

• Enderton H., Elements of Set Theory, Academic Press Inc., New York, 1977, ISBN 978-0122384400