Kugelflächenfunktionen

Definition und Motivation

Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten angeschrieben wird:

$\Delta ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)$

Der rechte, eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil bezeichnet. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators der theoretischen Physik. Mit diesem Operator lässt sich nun die Laplacesche Differentialgleichung in Kugelkoordinaten durch:

$\Delta f(r,\theta ,\phi )=0$

definieren. Diese Gleichung hat neben der trivialen Lösung, $f=0$, verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen.

Werden jetzt die speziellen Funktionen:

$f(r,\theta ,\phi )=R(r)\cdot Y_{lm}(\theta ,\phi )$

betrachtet, so gilt wegen der bereits genannten Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

$\Delta Y_{lm}(\theta ,\phi )=-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}Y_{lm}(\theta ,\phi )$

die folgende Gleichung:

$\Delta (R(r)\cdot Y_{lm}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dR(r)}{dr}}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R(r)\right)Y_{lm}(\theta ,\phi ).$

Die Laplace-Gleichung mit den separierten Funktionen

$\Delta \left(R(r)\cdot Y_{lm}(\theta ,\phi )\right)=0$

ist also immer dann erfüllt, wenn die Radialgleichung erfüllt wird:

${\frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dR(r)}{dr}}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R(r)=0.$

Durch dieses Verfahren, welches in der Literatur auch Separation der Variablen genannt wird, wurde also das ursprüngliche Problem, nämlich die Lösung der Laplace-Gleichung, auf das einfachere Problem der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung reduziert. Nun lässt sich aufgrund der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen zeigen, dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lässt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle f(r,\theta,\phi) = \sum_{lm}R_{lm}(r)Y_{lm}(\theta,\phi). }

Aufgrund der Linearität des Laplace-Operators lassen sich also durch Addition der Lösungen der Radialgleichung, multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen, beliebig viele Lösungen der Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Lösungsraumes der Laplace-Gleichung.

Darstellung

Die Darstellung der Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}:S^{2}\rightarrow \mathbb {C}$ ergibt sich also als Lösung der oben genannten Eigenwertgleichung. Die konkrete Rechnung ergibt:

$Y_{lm}(\theta ,\phi ):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}N_{lm}P_{lm}(\cos \theta )e^{im\phi }$

Dabei sind

$P_{lm}(x):={\frac {(-1)^{m}}{2^{l}l!}}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{l+m}}{dx^{l+m}}}(x^{2}-1)^{l}$

die zugeordneten Legendrepolynome und

$N_{lm}:={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}$

sind Normierungsfaktoren.

Mitunter ist die Berechnung über:

$P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{\frac {\left|m\right|}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{\left|m\right|}P_{l}(x)$

wobei:

$P_{l}(x)={\frac {1}{2^{l}}}\sum _{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-2k)!}}x^{l-2k}$

vorteilhafter ($\lfloor l/2\rfloor :={\mathrm {abrunden} }(l/2)$), da $l$-faches Ableiten entfällt.

Eine andere Definition geht über homogene, harmonische Polynome. Diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes homogene harmonische Polynom vom Grade n lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit $r^{n}$ schreiben und vice versa. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x, y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von $r^{n}$ die Funktionen

$1,$

$\cos \phi \sin \theta =Re(e^{i\phi })\sin \theta ,$

$\sin \phi \sin \theta =Im(e^{i\phi })\sin \theta ,$

$\cos \theta .$

Für die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme $x^{2}-y^{2},xy,x^{2}+y^{2}-2z^{2}$ wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.

Eigenschaften

Darstellung der Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:

• Orthogonalitätsrelation: ($\delta _{ij}$ ist das Kronecker-Delta)

$\int Y_{lm}^{*}(\theta ,\phi )\,Y_{l'm'}(\theta ,\phi )d\Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\theta ,\phi )\,Y_{l'm'}(\theta ,\phi )\,\sin {\theta }\,d\theta \,d\phi =\delta _{ll'}\,\delta _{mm'}$

• Parität: Der Übergang ${\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}$ sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus: $(r,\theta ,\phi )\rightarrow (r,\pi -\theta ,\pi +\phi )$. Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:

$Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\pi +\phi )=(-1)^{l}\cdot Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

• Komplexe Konjugation: Die jeweiligen $Y_{l}^{-m}$ erhält man aus den $Y_{lm}$ durch:

$\left[Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\right]^{\star }=(-1)^{m}\cdot Y_{l}^{-m}(\theta ,\phi )$

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen $f(\theta ,\phi )$ ($\theta ,\phi$ im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:

$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{+l}c_{l,m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

Die Entwicklungskoeffizienten $c_{l,m}$ berechnen sich zu:

$c_{l,m}=\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\theta =0}^{\pi }Y_{l}^{m\star }(\theta ,\phi )\cdot f(\theta ,\phi )\cdot \sin \theta d\theta d\phi$

Dabei ist $Y_{l}^{m\star }(\theta ,\phi )$ das komplex-konjugierte zu $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$. Die Darstellung einer Funktion $f(x)$ mit $sin$- und $cos$-Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion $f(\theta ,\phi )$ mit $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ auf einer Kugeloberfläche.

Die ersten Kugelflächenfunktionen

Die ersten Kugelflächenfunktionen lauten:

Ylm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				${\sqrt {\frac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{-3i\phi }$
m = -2			${\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{-2i\phi }$	${\sqrt {\frac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{-2i\phi }$
m = -1		${\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{-i\phi }$	${\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{-i\phi }$	${\sqrt {\frac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{-i\phi }$
m = 0	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}$	${\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos {\theta }$	${\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)$	${\sqrt {\frac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\theta }-3\cos {\theta }\right)$
m = 1		$-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{i\phi }$	$-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{i\phi }$	$-{\sqrt {\frac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{i\phi }$
m = 2			${\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{2i\phi }$	${\sqrt {\frac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{2i\phi }$
m = 3				$-{\sqrt {\frac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{3i\phi }$

Weitere Kugelflächenfunktionen bis Y₁₀

Nomenklatur in der Geophysik

Kugelflächenfunktion werden auch gerne in der Geophysik verwendet. Man unterscheidet hier zwischen:

• zonal ($m=0$): unabhängig von Längengrad $\phi$
• sektoriell ($m=l$):

$Y_{ll}(\theta ,\phi ):={\frac {(-1)}{l!}}^{l}{\sqrt {\frac {(2l+1)!}{4^{l+1}\pi }}}\sin ^{l}\theta e^{\imath l\phi }$

• tesseral (sonst): längen- und breitengradabhängig

Anwendungen in der Physik

Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung noch allgemeinerer partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids verwendet.

Literatur

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu und Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin - New York 1999, S. 649 ff.
• Torsten Fließbach: Elektrodynamik. 4. Auflage, Spektrum, München 2005, S. 99 ff.
• Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984

Weblinks

• Applet zur Veranschaulichung der Kugelflächenfunktionen (englisch)