Die Addition (v. lat. addere = hinzufügen) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. In der Grundschule und in der Umgangssprache verwendet man meist den Ausdruck Zusammenzählen für die Addition von zwei und mehr Zahlen.
Das Zeichen für die Addition ist das Pluszeichen "+". Es wurde 1489 von Johannes Widman eingeführt. Beispiel: 2 + 3 = 5 wird gelesen als "zwei plus drei gleich fünf" bzw. ugs. "zwei und drei ergibt fünf".
Die Zahlen, die addiert werden, heißen Summanden; ihr Ergebnis heißt Summe.
- Summe = Summand + Summand
- oder
- Summand + Summand = Summe
- z. B.: 1 Fußball + 4 Fußbälle = 5 Fußbälle
Aus dem Englischen kommend, wird der erste Summand gelegentlich auch Augend genannt. Der zweite Summand heißt dann Addend.
- Summe = Augend + Addend
Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion (das Abziehen). Sie wird oft als Addition mit einer negativen Zahl aufgefasst. Um beliebig addieren und subtrahieren zu können, muss man die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitern.
Rechenregeln der Addition
Die Reihenfolge, in der man Zahlen zusammenzählt, ist egal. Ob man 6 + 7 oder 7 + 6 addiert, man erhält jeweils 13 als Ergebnis.
Formell gelten bei der Addition folgende elementare Rechengesetze ( , und sind reelle Zahlen):
- Assoziativgesetz (der Addition):
- Kommutativgesetz (der Addition):
- Das neutrale Element ist 0:
- Das inverse Element zu ist
Addition in verschiedenen Mengen
Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb der Mengen der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung, die als Addition bezeichnet wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt.
Addition nennt man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen, die alle die folgenden Eigenschaften haben:
- Sie sind assoziativ und kommutativ
- Sie erfüllen zusammen mit einer Multiplikation das Distributivgesetz
In den meisten Fällen ergibt die Addition zusammen mit ihrer Definitionsmenge eine abelsche Gruppe. Wichtigste Ausnahme ist die Addition auf den natürlichen Zahlen, wegen der, wie oben erwähnt, fehlenden Inversen (negative Zahlen).
Ausgehend von den Peano-Axiomen lässt sich die Addition auf den natürlichen Zahlen folgendermaßen definieren:
bezeichnet den Nachfolger von , der aufgrund der Peano-Axiome eindeutig bestimmt ist. Da 1 der Nachfolger von 0 ist, gilt
Der Nachfolger von stimmt also mit überein.
Schriftliche Addition
Die Schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren erlernt wird. In dem heutzutage vorherrschenden Stellenwertsystem sind dabei nur zwei Teiltechniken zu erlernen: Die Addition einstelliger Zahlen und das Handhaben der Überträge.
Verfahren
Die zu addierenden Zahlen werden so untereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen. Die Zahlen werden also rechtsbündig angeordnet. Nun beginnt man, indem man nur die letzten Ziffern der Zahlen addiert und von diesem Zwischenergebnis die letzte Ziffer als Einerstelle des Endergebnisses notiert. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so werden die anderen Stellen in die weitere Addition mit einbezogen.
Nun wird die vorletzte Ziffer unter Berücksichtigung der Zehnerstelle des vorherigen Zwischenergebnisses aufaddiert. Wieder wird die letzte Ziffer des neuen Zwischenergebnisses als Zehnerstelle des Endergebnisses vermerkt und ein Übertrag gebildet.
Dieser Vorgang wird solange nach links fortschreitend fortgeführt, bis die vorderste Stelle erreicht ist.
Beispiel
69 193 482
9+3+2=14 ergibt als Einerstelle 4 und als Übertrag 1-.
1- 69 193 482 4
1+6+9+8=24 ergibt als Zehnerstelle 4 und als Übertrag 2--. Anschließend erzeugt 2+1+4=7 die Hunderterstelle.
2-- 1- 69 193 482 744
Geübte Kopfrechner können sich durch Umsortieren und Rechnen mit zweistelligen Unterteilungen viel Rechenzeit sparen. Wer z. B. weiß, dass sich 23+77 und 65+35 jeweils zu 100 ergänzen, wird in der folgenden Rechnung die zweite und dritte Zeile tauschen:
365 123 235 277 1000
Weitere Notationsmöglichkeiten
Summen können auch mittels des Summensymbols (nach dem großen griechischen Buchstaben Sigma) notiert werden.
Unter das Sigma wird die Zählvariable (in diesem Fall ) geschrieben. Ihr kann ein Startwert (hier: bzw. 2) durch die Verbindung mit einem Gleichheitszeichen zugewiesen werden. Erfolgt diese Zuweisung nicht, so bedeutet das eine Summe über alle möglichen . Über dem Sigma steht der Endwert (hier: bzw. 6). Zwischen dem Startwert und dem Endwert wird die Zählvariable jeweils um Eins erhöht. Zum Beispiel:
Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, wird diese unendliche Reihe genannt. Man schreibt dafür als Unter- bzw. Obergrenze das Symbol für minus bzw. plus Unendlich: bzw. .
Der Umgang mit diesem Symbol, sowie einige häufig vorkommende Summen, werden im Artikel Summe beschrieben.
