Spezielle Lorentz-Transformation

Die spezielle Lorentztransformation (auch Boost genannt) dient dazu, von einem Raum-Koordinatensystem in ein anderes umzurechnen, wenn sich die beiden relativ zueinander mit einer konstanten Geschwindigkeit v bewegen.

Das Koordinatensystem, in dem das zu beschreibende Objekt ruht, wird Ruhesystem genannt.

Die Operation L(v) wechselt in das Koordinatensystem, das sich relativ zum Ruhesystem bewegt, mit L(-v) kann vom bewegten in das Ruhesystem zurückgerechnet werden. (Leider sind da die Notationen nicht ganz einheitlich, es kann also durchaus vorkommen, dass bei v ein anderes Vorzeichen auftritt!)

Hier ist ein Boost in 1-Richtung als Matrix dargestellt:

$L(-v{\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}cosh\lambda &-sinh\lambda &0&0\\-sinh\lambda &-cosh\lambda &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ für $x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$,

wobei $\lambda$ hier die Rapidity ist, die durch $tanh\lambda =\beta ={\left|v\right| \over c}$ definiert ist.

Allgemein ist der Boost (ins Ruhesystem eines sich mit der Geschwindigkeit v bewegenden Teilchens) durch

$L(-{\vec {v}})={\begin{pmatrix}\gamma &-{\gamma \over c}v^{k}\\-{\gamma \over c}v^{i}&\delta ^{ik}+{\gamma ^{2} \over (1+\gamma )c^{2}}v^{i}v^{k}\end{pmatrix}}$

gegeben.

Beachte: Die spezielle Lorentztransformation wechselt nur zwischen Koordinatensystemen. Sie ist keine Beschleunigung oder ähnliches! So gesehen ist die Bezeichnung Boost irreführend!

Eigenschaften

• Bei der speziellen Lorentztransformation handelt es sich nicht um eine Untergruppe.

Dies wird durch den Kommutator der Erzeugenden ersichtlich $[K_{i},K_{j}]=\epsilon _{ijk}L_{k}$ , wobei K_i die erzeugenden der speziellen Lorentztransformation sind und L_k die der Drehgruppe

• Um die Untergruppe vollständig zu machen müssen die Drehungen dazugenommen werden. Zusammen ergeben sie dann die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe.