Übertragungsfunktion

Akropolit 21:39, 29. Okt 2004 (CEST)

Die Übertragungsfunktion beschreibt im Frequenzbereich das Verhalten eines linearen schwingfähigen Systems. Man nennt sie auch RAO (engl: Response Amplification Operator).

Ein lineares schwingfähiges System transformiert ein Eingangssignal in ein oder mehrere Ausgangssignale. Beispiele:

• Unebenheiten der Straßenoberfläche -> Schwingungen eines Autos,
• Eingangsbuchse -> Ausgangsbuchse eines Verstärkers,
• Seegang -> Schwingungen eines Schiffes oder einer Offshore-Plattform,
• elektrisches Signal -> Schwingungen der Membran eines Lautsprechers.

Eingangssignal ${x(t)\,}$ und Ausgangssignal ${y(t)\,}$ bestehen aus einer Überlagerung von je einer Sinusschwingung für jede von beliebig vielen Frequenzen. Die Übertragungsfunktion ist komplex:

$H=|H|e^{i\varphi }$

und beschreibt in Abhängigkeit von der Frequenz (oder zweckmäßiger: Kreisfrequenz ${\omega \,}$), um welchen Faktor $|H|$ das System die Amplitude verändert und um welchen Phasenwinkel $\varphi$ es die Phase verschiebt.

Herleitung

Wenn Ein- und Ausgangssignal im Frequenzbereich vorliegen, d.h. in Form ihrer komplexen Fourierspektren oder Fourierkoeffizienten

$x(t)=\int _{(\omega )}X(\omega )\,e^{i\omega t}\,d\omega \approx \sum _{(j)}X_{j}e^{i\omega _{j}t}$

$y(t)=\int _{(\omega )}Y(\omega )\,e^{i\omega t}\,d\omega \approx \sum _{(j)}Y_{j}e^{i\omega _{j}t}$

dann definiert man als Übertragungsfunktion den Quotienten, also das Verhältnis von Ausgangs-Fourierspektrum zu Eingangs-Fourierspektrum:

$H(\omega )={\frac {Y(\omega )}{X(\omega )}}\quad {\mbox{bzw.}}\quad H_{j}=H(\omega _{j})={\frac {Y_{j}}{X_{j}}}$

In manchen Literaturquellen ist die Übertragungsfunktion allderdings konjugiert komplex hierzu definiert, d.h. es besteht keine Einigkeit darüber, ob ein positiver Phasenwinkel "voreilend" oder "nacheilend" bedeutet.

Einsatz für Filter

Zur Auslegung von Filter mit passiven oder aktiven Komponenten wird die Übertragungsfunktion als einfache Potenzfunktion angesetzt:

$H(P)={\frac {A_{0}}{\prod _{i}(1+a_{i}\mathbf {P} +b_{i}\mathbf {P^{2}} )}}$

wobei P die normalisierte Frequenz ist mit $\mathbf {P} =I{\frac {\omega }{\omega _{g}}}$ und $\omega _{g}$ die Grenzfrequenz darstellt.

Die höchste Potenz von P bezeichnet dabei die Ordnung des eingesetzten Filters. Die Steilheit des Verstärkungsabfalles steigt mit der Ordnung des Filters.

Ungerade Ordnungen erhält man, indem der Koeffizient $a_{1}=0$ gesetzt wird.

Zeitbereich

Während es sich hier um eine Betrachtung im Frequenzbereich handelt, ist mit gewissen Einschränkungen etwas ähnliches auch im Zeitbereich möglich, und zwar genau dann, wenn das Eingangssignal die Ursache und das Ausgangssignal die Wirkung ist. Die entsprechende Funktion im Zeitbereich nennt man Impulsantwortfunktion, diese ist (abgesehen von einem Faktor) die inverse Fouriertransformierte der Übertragungsfunktion.

Anwendungen

Eine typische Anwendung der Übertragungsfunktion besteht darin, dass man sie im Rahmen von Modellversuchen misst und danach die Möglichkeit hat, das System numerisch zu simulieren.

Eine wichtige Rolle spielt die Übertragungsfunktion in der Signaltheorie, der Regelungstechnik sowie in Schiffbau und Offshoretechnik. Da sie für die Analyse und numerische Simulation nicht nur elektrischer, sondern auch mechanischer Schwingungen eingesetzt wird und ihre Implementation als Software keine Spezial-Hardware voraussetzt, stellt sie kein Teilgebiet der Elektronik oder Elektrotechnik dar.

In den beiden letztgenannten Anwendungen hängen die sechs Übertragungsfunktionen für die sechs Freiheitsgrade (surge, sway, heave, roll, pitch, yaw) zusätzlich von der Ausbreitungsrichtung des Seegangs sowie von der Geschwindigkeit des Schiffes ab.

Siehe auch

Digitales Filter, FFT, Frequenzgang, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, Faltung