Apollonisches Problem

Apollonius widmet dem geometrischen Problem, einen Kreis zu konstruieren, der drei beliebige andere Kreise berührt, ein leider nicht erhaltenes Buch ("Über Berührungen").

Da man bei den Ausgangskreisen auch von einem unendlich kleinen Radius und einem unendlich großen Radius ausgehen kann, kann nicht nur von drei Kreisen, sondern auch von Punkten und Geraden (Tangenten) ausgegangen werden. Es gibt zehn Kombinationsmöglichkeiten und Lösungen:

Drei Kreise: Im Allgemeinen acht Lösungen
Zwei Kreise, ein Punkt: Im Allgemeinen vier Lösungen
Zwei Kreise, eine Gerade: Im Allgemeinen acht Lösungen
Ein Kreis, zwei Geraden: Im Allgemeinen acht Lösungen
Ein Kreis, eine Gerade, ein Punkt: Im Allgemeinen vier Lösungen
Ein Kreis, zwei Punkte: Im Allgemeinen zwei Lösungen
Drei Geraden: Im Allgemeinen vier Lösungen
Zwei Geraden, ein Punkt: Im Allgemeinen zwei Lösungen
Zwei Punkte, eine Gerade: Im Allgemeinen zwei Lösungen
Drei Punkte: Im Allgemeinen eine Lösung

Die zwei einfachsten Fälle (drei Punkte und drei Geraden) wurden bereits von Euklid gelöst, die anderen waren im verlorenen Werk des Apollonius gelöst. Der Satz von Descartes löst den Fall der drei Kreise bei sich paarweise berührenden Kreisen. François Viète löste das Problem als erster in moderner Zeit mittels eines nichtlinearen Systems dreier quadratischer Gleichungen. Eine sehr elegante Lösung stammt von Joseph Gergonne.

Da die vollständige Lösung der Probleme alle Konstruktionsfälle mit Berührungen (Tangenten) von Kreisen, Punkten und Geraden löst, sind natürlich auch die Berührkreise am Dreieck enthalten (Ankreis, Inkreis, Umkreis).

Für die vier einfachsten Fälle können mit relativ einfachen Möglichkeiten Lösungen für die Kreisradien angegeben werden:

Drei Geraden

Für drei sich schneidende Geraden gibt es vier Lösungen

Für drei sich schneidende Geraden (nicht parallel oder übereinander liegend) gibt es vier Lösungen. Sind zwei der Geraden parallel, gibt es nur zwei Lösungen, für drei Parallelen gibt es keine Lösung und für parallele Geraden mit Abstand 0 gibt es unendlich viele Lösungen.

Die drei Geraden bilden mit ihren Schnittpunkten ein Dreieck mit den Seiten $a,b,c$ . Deshalb kommen hier die Regeln für den Inkreis und die Ankreise zur Anwendung:

r={\frac {2A}{a+b+c}}={\frac {A}{s}}={\frac {a}{\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}}}

mit den Innenwinkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$ , dem Flächeninhalt $A$ und dem halben Umfang s:

s={\frac {a+b+c}{2}}

Um einen Ausdruck zu erhalten, der nur die Seitenlängen verwendet, kann der Satz des Heron benutzt werden:

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}

Die entsprechenden Formeln für die Ankreise lauten

r_{a}={\frac {2A}{b+c-a}}={\frac {A}{s-a}}={\frac {a}{\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}}

bzw. für die anderen Ankreisen entsprechend.

Zwei Geraden, ein Punkt

Für zwei sich schneidende Geraden und einen Punkt gibt es im Allgemeinen zwei Lösungen

Es gibt verschiedene Fälle:

Die Geraden sind parallel: Falls der Punkt außerhalb des von den Geraden begrenzten Bereiches liegt, gibt es keine Lösungen. Liegt er auf einer der Geraden, gibt es eine Lösung. Liegt er dazwischen, zwei Lösungen; der Kreisdurchmesser ist jeweils gleich dem Abstand der Geraden.
Die Geraden sind nicht parallel:
- Ist der Punkt der Schnittpunkt der Geraden, gibt es keine Lösung.
- Liegt der Punkt $P$ auf einer der Geraden, $g$ , ist jedoch nicht der Schnittpunkt, gibt es zwei Lösungen; die Mittelpunkte der Kreise sind die Schnittpunkte der beiden Winkelhalbierenden mit der Senkrechten zu $g$ durch $P$ .
- Liegt der Punkt auf keiner der Geraden, gibt es zwei Lösungen; dies ist der generische Fall. Es seien $P'$ das Bild von $P$ unter der Spiegelung an der zugehörigen Winkelhalbierenden $w$ und $S$ der Schnittpunkt der Senkrechten zu $w$ durch $P$ und $P'$ mit einer der Geraden, $g$ . Dann haben die Berührpunkte der beiden Kreise mit $g$ den Abstand ${\sqrt {{\overline {SP}}\cdot {\overline {SP'}}}}$ von $S$ . Ihre Mittelpunkte sind die jeweiligen Schnittpunkte der Senkrechten zu $g$ durch die so ermittelten Berührpunkte mit $w$ .

Eine Gerade, zwei Punkte

Für eine Gerade und zwei Punkte gibt es i. a. zwei Lösungen

Für zwei Punkte und eine Gerade gibt es zwei Lösungen, bei den unten genannten Spezialfällen nur eine und für zwei auf der Geraden liegende Punkte unendlich viele Lösungen.

Dieser Fall ist im Wesentlichen äquivalent zum vorherigen; die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der beiden Punkte entspricht dabei der Winkelhalbierenden. Umgekehrt liegt beim vorherigen Problem auch der an der Winkelhalbierenden gespiegelte Punkt auf den gesuchten Kreisen.

Die vorgegebenen Punkte seien mit $P_{1}$ und $P_{2}$ bezeichnet, die vorgegebene Gerade mit $g$ . Weiter sei $S$ der Schnittpunkt der Geraden $(P_{1}P_{2})$ mit $g$ und $\alpha <90^{\circ }$ der Schnittwinkel. Dann haben die Berührpunkte der beiden gesuchten Kreise nach dem Sekantentangentensatz den Abstand $t={\sqrt {{\overline {SP_{1}}}\cdot {\overline {SP_{2}}}}}$ von $S$ . Die Mittelpunkte können dann als Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von $P_{1}P_{2}$ mit den Senkrechten zu $g$ in den Berührpunkten ermittelt werden.