Zeeman-Effekt

Als Zeeman-Effekt bezeichnet man das Aufspalten einer atomaren Spektrallinie unter Anlegen eines externen Magnetfeldes in mehrere Linien. Der Effekt wurde nach Pieter Zeeman, seinem Entdecker, benannt. Man unterscheidet zwischen dem anomalen und dem normalen Zeeman-Effekt, wobei der normale nur ein Spezialfall des anomalen ist.

Die Aufspaltungen haben ihren Ursprung in der Wechselwirkung des Magnetfeldes mit den magnetischen Momenten innerhalb des Atoms, die vom Bahndrehimpuls und vom Spin des Elektrons erzeugt werden.

anschauliche Beschreibung des Zeeman-Effektes

Beobachtet man eine spezielle Spektrallinie eines Atoms ohne Magnetfeld, so erkennt man nur eine einzige Linie, also nur eine einzige Wellenlänge. Schaltet man nun ein Magnetfeld ein, so erkennt man drei Wellenlängen. Betrachtet man dieses durch ein Interferometer kann man direkt sehen, dass drei verschiedene Linien zu sehen sind.

Diese Aufspaltung ist dadurch zu erklären, dass die Elektronen im Atom ein eigenes magnetisches Moment haben, welches mit dem äußeren zugeschalteten Magnetfeld wechselwirkt. Wenn man diese Situation mit einem Stabmagneten in einem Magnetfeld vergleicht, merkt man, dass man, je nachdem wie man den Stabmagneten im Feld drehen möchte, unterschiedliche Energie für die Durchführung der Drehung aufwenden muß. Im Atom oder in einem Gas mit Atomen, welches man untersucht, gibt es nun auch unterschiedlich orientierte magnetische Momente, wodurch sich Änderungen an der Energie des jeweiligen Zustandes ergeben. Diese Änderungen der Energie führen direkt zur Veränderung der Wellenlängen.

normaler Zeeman-Effekt

Den normalen Zeeman-Effekt kann man mit Hilfe eines halbklassischen Modells beschreiben. Das meint, dass man für die Bewegung des Elektrons um den Atomkern eine klassische Kreisbahn annimmt, der Drehimpuls allerdings gequantelt ist (vgl. Bohrsches Atommodell). Das Elektron auf der Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v und Radius r stellt einen elektrischen Strom dar.

$I=-e\cdot {\frac {v}{2\pi r}}$

Dieser erzeugt ein magnetisches Moment:

${\vec {\mu _{l}}}=I\cdot {\vec {A}}=-ev{\frac {r}{2}}\cdot {\hat {n}}$

${\vec {A}}$ ist der Flächenvektor, der senkrecht auf der von der Kreisbahn umschlossenen Kreisfläche steht.

Das magnetische Moment lässt sich auch mit Hilfe des Drehimpulses des umlaufenden Elektrons ausdrücken: ${\vec {\mu _{l}}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}\cdot {\vec {l}}$ dieses folgt aus einem Vergleich mit der Definition des Bahndrehimpulses: ${\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}=m_{e}\cdot r\cdot v\cdot {\hat {n}}$

Nun erhält man aus der Gleichung für die potentielle Energie in einem Magnetfeld ($E_{pot}=-{\vec {p_{m}}}\cdot {\vec {B}}$):

$E_{pot}={\frac {e}{2m_{e}}}\cdot {\vec {l}}\cdot {\vec {B}}$

dieses ist schon die Zeemanaufspaltung.

Nimmt man nun an, dass das Magnetfeld in z-Richtung zeigt, kann man über die Quantisierung des Drehimpulses ($l_{z}=m\cdot \hbar$) die Gleichung vereinfachen:

$E_{pot}={\frac {e\cdot \hbar }{2m_{e}}}m\cdot B=\mu _{B}\cdot m\cdot B$

wobei m die magnetische Quantenzahl ist und $\mu _{B}$ das Bohrsche Magneton

Die Energieniveaus innerhalb des Atoms verhalten sich nun also wie folgt: $E=E_{coulomb}+\mu _{B}\cdot m\cdot B$ Die Aufspaltung ist also nur abhängig von der magnetischen Quantenzahl und somit für jede Hauptquantenzahl gleich groß.

anomaler Zeeman-Effekt

Für den anomalen Zeeman-Effekt muß man den Spin des Elektrons mit berücksichtigen. Insofern ist ein klassisches Herangehen nicht mehr möglich, da man den Spin nicht mit einer klassischen Größe vergleichen kann.

Spin und Bahndrehimpuls können zu einem Gesamtdrehimpuls J koppeln. Ebenso koppeln die magnetischen Momente von Bahndrehimpuls (${\vec {\mu _{L}}}=-{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\cdot {\vec {L}}$) und Spin(${\vec {\mu _{S}}}=-g_{s}{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\cdot {\vec {S}}$). Das magnetische Moment des Bahndrehimpulses wurde oben hergeleitet, auf die Herleitung des magnetischen Momentes des Spins muß verzichtet werden.

${\vec {\mu _{J}}}={\vec {\mu _{S}}}+{\vec {\mu _{L}}}=-{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\left(2{\vec {S}}+{\vec {L}}\right)$

Alle Drehimpulse/magnetischen Momente präzedieren um die z-Achse oder um andere Drehimpulse/magnetische Momente. Wie die Präzession des magnetischen Momentes abläuft, wird das Verhältnis von Gesamtbahndrehimpuls und Gesamtspinmoment bestimmt.

Aus der quantenmechanischen Störungstheorie folgt dann für die Aufspaltung der Energieniveaus:

$\Delta E_{B}=\mu _{B}\cdot B\cdot \mu _{J}\cdot g_{J}$

$g_{J}=1+{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}$ dies ist der Landé-Faktor für den Gesamtdrehimpuls. Setzt man S=0, erhält man wieder den normalen Zeeman-Effekt.