Frenetsche Formeln

Die frénetschen Formeln (Frénet-Formeln), benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Frédéric Frenet, sind die zentralen Gleichungen in der Theorie der Raumkurven, einem wichtigen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Die Formeln verwenden eine Orthonormalbasis aus drei Vektoren, die das lokale Verhalten der Kurve beschreiben, und drücken die Ableitungen dieser Vektoren als Linearkombinationen der genannten drei Vektoren aus.

Gegeben sei eine durch die Bogenlänge s parametrisierte Kurve.

${\vec {r}}={\vec {r}}(s)$

Für einen Kurvenpunkt ${\vec {r}}(s)$ erhält man durch Ableiten nach s den Tangenteneinheitsvektor, der die momentane Richtung der Kurve angibt.

${\vec {t}}(s)={\vec {r}}\,'(s)$.

Erneutes Ableiten liefert den Hauptnormaleneinheitsvektor (Krümmungsvektor), der sich ebenfalls auf einfache Weise geometrisch deuten lässt: Man betrachtet den so genannten Schmiegkreis, also den Kreis, der durch den gegebenen Kurvenpunkt geht, dort die gleiche Richtung hat wie die Kurve und auch in der zweiten Ableitung mit der Kurve übereinstimmt. Der Hauptnormaleneinheitsvektor gibt nun die Richtung der Verbindungsgeraden von Kurvenpunkt und Schmiegkreismittelpunkt an.

${\vec {n}}(s)={\frac {1}{||{\vec {t}}\,'(s)||}}{\vec {t}}\,'(s)={\frac {1}{||{\vec {r}}\,''(s)||}}{\vec {r}}\,''(s)$.

Zusätzlich wird mit Hilfe des Vektorprodukts der Binormaleneinheitsvektor

${\vec {b}}(s)={\vec {t}}(s)\times {\vec {n}}(s)$

festgelegt.

Tangenten-, Hauptnormalen- und Binormaleneinheitsvektor bilden eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{3}$, d.h. diese Vektoren haben alle den Betrag 1 und sind paarweise senkrecht zueinander. Man bezeichnet diese Orthonormalbasis auch als begleitendes Dreibein der Kurve. Die frénetschen Formeln drücken die Ableitungen der genannten Basisvektoren als Linearkombinationen dieser Basisvektoren aus:

${\vec {t}}\,'(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)$

${\vec {n}}\,'(s)=-\kappa (s){\vec {t}}(s)+\tau (s){\vec {b}}(s)$

${\vec {b}}\,'(s)=-\tau (s){\vec {n}}(s)$

Dabei stehen $\kappa (s)$ für die Krümmung und $\tau (s)$ für die Windung (Torsion) der Kurve im betrachteten Kurvenpunkt.